| 研究課題/領域番号 |
25400033
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| 研究機関 | 北海道大学 |
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研究代表者 |
松本 圭司 北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (30229546)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | 超幾何関数 / 超幾何微分方程式 / モノドロミー表現 / 交点形式 / twsited homology group / twisted cohomology group |
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| 研究実績の概要 |
超幾何微分方程式系の線形独立な解たちを並べて得られる射影空間への写像は、Schwarz 写像と呼ばれる。この写像に関するこれまでの研究では、超幾何微分方程式系が既約なものに限られていた。連携研究者との共同研究により、Appell F_2 と呼ばれる２変数超幾何方程式系が可約になる場合でも有効であるモノドロミー表現と可約になる特別なパラメーターに関する Schwarz 写像を研究した。得られたモノドロミー表現は、真の不変部分空間を有しているが、その空間の幾何学的な特徴づけを与えた。解の積分表示と関係している twisted homology group 上にある交点形式を用いて、circuit 変換は基底の取り方によらない形で与えている。その結果の系として、可約になった場合でも有効である基底に関する表現行列も具体的に与えている。
一般超幾何方程式と Appell-Lauricella の多変数超幾何微分方程式系 F_C のモノドロミー表現は、鍵となる circuit 変換が鏡映変換として現れることが知られていた。その鏡映変換を定める内積を未知数とみなし、局所的なデータによる連立方程式系を解くことでこれらのモノドロミー表現を決定できることを見出した。さらにこの手段を m 変数で階数 pのm乗の超幾何微分方程式系に対するモノドロミー表現の導出にも適応可能であることを発見した。連携研究者との共同研究により、m=2, p=3 の場合はその正当性が証明されている。現在、一般の m,p に対するモノドロミー表現に関する予想の証明に取り組んでいる。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
出版されている論文はないが、モノドロミー表現に対する新しいいくつかの重要な発見を得ている。２編の論文を arXiv に投稿し公開しており、これらの結果について講演を行っている。
可約な場合の研究は、Appell F_2 に関する１例であるが、他の超幾何微分方程式系へも適応可能であり、これまで課していたパラメーターに関する非整数条件を大幅に緩めることができるようになる。
鏡映変換を未知数としてモノドロミー表現を求める手段では、Artin 群が自然に現れ、その表現の系列が得られることが期待できる。この手段も汎用性が高く、多くの応用が期待できる。
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| 今後の研究の推進方策 |
連携研究者と研究連絡を行い、可約な超幾何微分方程式系に関する系統的な研究を行う。Schwarz 写像に関しては、像を代数多様体の混合Hodge構造として解釈することにより、逆写像を与える対称空間上の保型形式の研究を進める。そして数論幾何への応用も考察する。
内積を未知数として多変数超幾何微分方程式系のモノドロミー表現を決定する研究では、連携研究者と研究連絡を行い、次元に関する帰納法に持ち込む手段を開発し、予想の証明を目指す。
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