| 研究課題/領域番号 |
25400034
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 研究機関 | 東北大学 |
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研究代表者 |
田中 太初 東北大学, 情報科学研究科, 准教授 (50466546)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | アソシエーションスキーム / 距離正則グラフ / 交差定理 / 半正定値計画 |
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| 研究概要 |
1. Erdos-Ko-Rado の定理及びその拡張は、Delsarte による線型計画の手法の最も優れた応用例の一つであるが、平成25年3月～4月に愛知教育大学の須田庄氏と共同で、有限体上のベクトル空間の二つの部分空間族の間の交叉に関する定理を、半正定値計画の双対性を用いて証明した。この成果については本年度中に数回の口頭発表を行ったが、本年度はさらに須田氏及び琉球大学の徳重典英氏と共同で、この研究で用いた手法を一般の有限単純二部グラフ上に定式化し、特に有限集合の二つの部分集合族の間の、ある種の測度を考慮した交差に関する定理を考察した。今回一般化した手法は1-交差族については適用が特に容易であり、既存の組合せ的証明とは全く異なった、簡潔な代数的証明を与えることが可能となる。
2. 距離正則グラフに関する100ページを超える解説論文の執筆を Tilburg 大学の Edwin van Dam 氏及び中国科学技術大学の Jack Koolen 氏と平成23年度より継続して進めており、現時点では草稿を Van Dam 氏のウェブサイトに公開している。本年度は特に集中的に執筆に取り組み、次年度の初期に完成する見込みとなった。この作業を通して、距離正則グラフの理論に関する膨大な知見の蓄積を行っており、平成26年2月に東北大学で開催された(小規模な)国際集会で入門講義を行った。
3. Q-多項式距離正則グラフの、球面デザインとしての強さ(strength)が最大値5を取る場合の分類について、須田氏と研究を行った。また、対称群のある種の Cayley グラフの独立数について、Bandung 工科大学の Edy Tri Baskoro 氏と研究を行った。これらの成果は現時点では論文として纏めるには少々弱いと思われるが、いくつかの重要な知見を含んでおり、今後の研究への課題となっている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
平成23年度より執筆に取り組んできた距離正則グラフに関する解説論文がようやく後数ヶ月で完成する見込みとなったことは、大きな進展である。また、徳重氏・須田氏との共同研究等、一定の研究成果が蓄積されてきており、次年度以降順次論文として公開する予定である。
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| 今後の研究の推進方策 |
上述の解説論文や、これまで得られた成果に関する論文の執筆に取り組む他、徳重氏・須田氏との共同研究で用いた半正定値計画の手法をさらに深化・発展させることを目指す。また、これと平行して、Terwilliger 代数の表現論の研究にも取り組む。ただし、従来広く研究されてきたQ-多項式距離正則グラフの1頂点に関する Terwilliger 代数だけでなく、より多様なケースを扱いたい。
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| 次年度の研究費の使用計画 |
今年度は距離正則グラフに関する解説論文の執筆に多くの研究時間を割くことを最優先したため、検討していた研究集会への参加を減らしたことによる。
平成26年6月に東北大学で「代数的組合せ論シンポジウム」の開催を計画しており、これに合わせて研究者を招聘し、研究打合せを行うために、平成26年度請求額と合わせて使用する予定である。
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