| 研究課題/領域番号 |
25400044
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| 研究機関 | 琉球大学 |
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研究代表者 |
木本 一史 琉球大学, 理学部, 准教授 (10372806)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | 表現論 / 整数論 / 組合せ論 / パラメタ変形 / アルファ行列式 / 非可換調和振動子 |
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| 研究実績の概要 |
本研究は、表現論的な不変性や構造を背景に持つ数学的対象として行列式と調和振動子を取り上げ、それらのパラメタ変形によって生じる「ずれ」の効果として現れる量を調べることを目的とする。具体的には、アルファ行列式と呼ばれる行列式の１パラメタ変形（およびその量子群類似）と非可換調和振動子と呼ばれる調和振動子の２パラメタ変形とを対象として、「元来の対象物」と「そのパラメタ変形」との間の差異を反映して現れる（変形パラメタを変数とする）関数について、それらの具体的な計算ないし特徴付け、および背後にある表現論的構造による性質の記述を行うことを主たる目的とする。
1. 非可換調和振動子のスペクトルゼータ関数の整数点における値（特殊値）の計算の中でアペリ型数列が自然に生じる。s=2 における議論を雛形に、一般の特殊値に付随するアペリ型数列の母関数ないしそこから派生する関数のモジュラー性について研究を続けている。「アペリ型数列の母関数」の母関数を考えると、変数の特殊化で、いわゆるマーラー測度に関するある種の議論に現れる量との一致が観察される。この現象に対する説明は付けられていない。
2. 行数が列数の約数であるような長方行列に対してリース行列式という左側乗法性を持った量が（アルファ行列式から）作られる。有限群とその部分群の対を考えると、いわゆる群行列式の類似をリース行列式によって導入することが出来る（便宜上「群リース行列式」と呼ぶ）。有限アーベル群とそのある種の部分群の対に対して、文字変数の特別な特殊化の下で群リース行列式を決定した。この結果は論文（濱本けい、立花俊和、若山正人との共著）として出版予定である。また、組合せ論におけるAlon-Tarsi予想と呼ばれる未解決問題が、特別な形のリース行列式の計算と直接的に結びつくことに基づいて、この予想に対する表現論的なアプローチについて模索している。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
群行列式の一般化に相当する「群と部分群のペアから定まるリース行列式」に関する成果をまとめた論文が学術雑誌に受理されて、出版予定（オンラインでは公開済み）である。非可換調和振動子のスペクトルゼータ値の研究についても、得られた結果を論文の形に整理しつつ研究を進めている。
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| 今後の研究の推進方策 |
非可換調和振動子のスペクトルゼータ関数の特殊値、およびそれに由来するアペリ型数列については、母関数のモジュラー性（アイヒラー積分の類似による表示など）について引き続き研究を進める。
アルファ行列式・リース行列式については、群行列式のリース行列式類似やAlon-Tarsi予想への表現論的なアプローチなどについて研究を進める。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
年度末の学会出張旅費で概ね使用が完了する予定であったが、実際の旅費が予定より若干少なかったため9千円程度が残額として残った。
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| 次年度使用額の使用計画 |
次年度の旅費の一部として合わせて利用する。
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