| 研究課題/領域番号 |
25400050
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 研究機関 | 日本大学 |
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研究代表者 |
吉田 健一 日本大学, 文理学部, 教授 (80240802)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | Ulrich ideal / Cohen-Macaulay ring / rational singularity / McKay correspondence / Ulrich module |
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| 研究概要 |
有理二重点上の自由でない既約な極大コーエン・マコーレー加群は，極小特異点解消の例外因子に現れる既約曲線に対応することが知られている（古典的マッカイ対応）。また、この対応において反ネフ因子で表現されるイデアルの余長さは反ネフ因子と基本因子などの交点数で計算することができる（リーマン・ロッホ定理）。また、後藤・居相・渡辺によりゴレンシュタイン環に対して導入された良イデアルの概念は有理二重点の場合は極小特異点解消で表現される整閉イデアルとして理解することができる。その事実に注意して、我々は二重点でない有理特異点に対しても固定された良イデアルに付随するスペシャルコーエン・マコーレー加群の概念を導入し、その判定法を与えた。また、その結果を利用して、有理特異点におけるスペシャルイデアル、ウルリッヒイデアルの分類、有理二重点における（与えられた良イデアルに付随する）ウルリッヒ加群の完全な分類定理を証明した。一方、超曲面に対して、ウルリッヒ加群を有する良イデアルはウルリッヒイデアルであることを証明し、有理二重点におけるウルリッヒ加群の完全な分類定理を証明した。
超曲面上の極大コーエン・マコーレー加群は行列式分解を用いて表現できることが知られている。我々はその事実を良イデアルに付随するウルリッヒ加群の場合に適用することにより、超曲面におけるウルリッヒイデアルが満たす必要条件を発見した。次年度以降はその事実を利用して、上記の結果の高次元化、すなわち、単純超曲面におけるウルリッヒイデアル（もしくはウルリッヒ加群）の分類を試みようと思う。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究の１つの目標は高次元単純特異点上のウルリッヒ加群の分類である。その特別な場合として、２次元の有理二重点におけるウルリッヒ加群、ウルリッヒイデアルの分類に成功した。さらに、高次元への足掛りとして、行列式分解を使った表示、クネーラーの周期性が有効であることが判明している。おおむね当初予定していた結果が得られるものと期待している。
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| 今後の研究の推進方策 |
研究成果を広く公表するために、富山県で国際シンポジウムを開催予定である。国際的な研究者を多く招聘し、意見交換を予定している。また、目標の高次元化に関しては、「現在までの達成度」に記載したアイデアに基づいて遂行すればよいと考えている。
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| 次年度の研究費の使用計画 |
当初はバークレー出張を本研究費から支出する計画を立てて申請したが、ホテル・航空券の購入の都合により、他の研究費からのサポートを受けたため。
また、次年度に主催予定の国際シンポジウムのサポートに多くの予算をさく必要が生じたため。
次年度富山県の国際シンポジウムにおいて、外国からの参加者約10名分の宿泊費のサポートを予定します。また、可換環論シンポジウムの国内旅費のサポートを予定しています。
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