| 研究課題/領域番号 |
25400050
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| 研究機関 | 日本大学 |
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研究代表者 |
吉田 健一 日本大学, 文理学部, 教授 (80240802)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | Ulrich ideal / Ulrich module / Cohen-Macaulay / simple singularity / McKay correspondence / special CM module |
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| 研究実績の概要 |
前年度の研究において、２次元ゴレンシュタイン有理特異点上の直既約な極大コーエン・マコーレー加群は、極小特異点解消の例外因子に表れる既約曲線に対応するという古典的マッカイ対応とリーマン・ロッホの定理を利用して、ウルリッヒ加群とウルリッヒイデアルの完全な分類を与えた。その証明のアイデアを巡回商特異点の場合に適用して、ゴレンシュタインでない有理特異点の場合のウルリッヒイデアルの特徴づけを与えた。
本年度はその結果の高次元化として、単純（超局面）特異点のウルリッヒイデアルとウルリッヒ加群の分類定理を証明した。超曲面上の極大コーエン・マコーレー加群は行列式分解を用いて表現できることが知られている。我々はその事実を良イデアルに付随するウルリッヒ加群の場合に適用することにより、超曲面におけるウルリッヒイデアルが満たす必要条件を発見していた。さらに、議論を推し進めて、その逆側の条件を見出して、定理の証明を完成した。ただし、本結果は小さい標数の場合には当てはめることができない。その場合に対する拡張は今後の課題である。
古典的なウルリッヒ加群の決定問題は、２次元の巡回商特異点の場合ですら知られていない。そこで、名古屋大学の中嶋氏とその場合のウルリッヒ加群の簡単な特徴づけを見出した。成果については日本数学会などを通じて報告中である。
今後はウルリッヒ加群のブローアップ代数などがどのような構造を持つのかなどを議論していく予定である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究の１つの目標は高次元単純特異点上のウルリッヒ加群の分類である。
少なくとも標数０の場合については求める結果が得られた。また、巡回商特異点上のウルリッヒ加群の個数に関する幾何学的考察も得られるなど予想外の成果も得られている。今後の課題として、ウルリッヒ加群及びウルリッヒイデアルの分類を正標数の場合に拡張していくことが求められる。さらに、概Gorenstein環の理論、良イデアルの理論と連携する目途を立てることができた。
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| 今後の研究の推進方策 |
（小さな）正標数の場合に拡張するためには代数幾何、整数論の知識などが必要である。
文献の確保なども含めて情報収集が必要である。
また、得られた研究成果の発表をできるだけ大きな研究集会で発表していく機会を模索していきたい。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
当初計画していたシンポジウムの開催年度が後ろ倒しになったため、前年度からの繰り越しが生じました。また、円安の影響により研究に必要な雑誌類の購入計画に変更が生じたことによります。
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| 次年度使用額の使用計画 |
研究に必要な雑誌類の購入に前年度からの繰り越し金として約80万円が必要です。
残りについては、当初計画していたものと同様の方針で使用する予定です。
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