| 研究概要 |
射影平面曲線の重要な古典的不変量として“級(class)”-双対曲線の次数-がある. 自然な一般化として, 射影多様体に対する(高次)ガウス写像の像の次数が考えられる. 今年度は「ガウス写像の像の次数」について研究した. これは研究計画において明記した問題ではないが, 研究課題の「正標数の射影代数幾何」の視点のみならず, 広く一般標数の射影代数幾何の視点から考えても, こちらを研究する方が重要と考えられ, また, 研究課題への応用も見込まれるからである. これは, 高山茂晴氏（東大数理）からの質問に端を発してものでもある.
「ガウス写像の像の次数」関して, 特異点をもつ射影曲線およびヴェロネーゼ曲線の場合, そして, ガウス写像の次数が多様体の次元+1の場合に, ガウス写像の像の次数に関する公式を得た. この成果の一部は, 高山氏らの研究グループの学術論文に引用されている.
さらに研究を進めてゆくと, 射影多様体上の法線束に付随するグラスマン束の次数に関する研究が重要であると解った. そこで一般に, 射影多様体上のベクトル束に付随する「グラスマン束の次数」について調査することにし, 寺杣友秀氏（東大数理）の協力を得て研究を進めた. その結果, 一般の体上で定義された代数多様体上のベクトル束 E に付随するグラスマン束に対して, E のセグレ類で, そしてそのシューア多項式で記述される閉じた公式を二つ得ることができた. なかなか美しい公式である.
この研究成果は, 2013年RIMS研究集会「Fano多様体の最近の進展」(2013年12月17日), ソウルで開催された「Symposium on Projective, Algebraic Varieties and Moduli 2014」(2014年2月13日), そして, 「第21回沼津研究集会」(2014年3月6日) において研究発表を行った.
得られた公式の意味を探るうちにその証明には改良の余地があることが解ってきた. 証明の改良と公式の一般化を目指して2014年度も引き続き, 寺杣氏との共同研究を継続している.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
4: 遅れている
理由
上述の通り, 研究課題「正標数の射影代数幾何」, 特に射影多様体のガウス写像に深く関係する問題として, 「(高次) ガウス写像の像の次数」そして「グラスマン束の次数」についての研究を始めている. これは研究計画において明記した問題ではないが, 研究課題の「正標数の射影代数幾何」の視点のみならず, 広く一般標数の射影代数幾何の視点から考えても, 普遍的かつ重要であると考えられ, そしてまた, 研究課題への応用も見込まれるので, 研究計画の変更をすることにした.
そのため, 研究計画に挙げた内容自体については達成度は低いと云わざるを得ない.
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| 今後の研究の推進方策 |
現在は, これまでに得られたグラスマン束の次数公式の証明について改良を行っている.
問題の次数は, ベクトル束のセグレ類を含むある種のローラン級数の定数項として得られることが解っている. 次数公式の研究の初期の段階において, 初等的計算により定数項を求める証明, および, 合流型セルバーグ積分を用いた証明の二つを発見した. その公式の意味を探るうちにその証明には, 改良の余地があることが解って来た.
今後はまず, 寺杣氏との共同研究により証明の改良を目指すこととする.
得られた公式は, 代数幾何学のみならず広く, 表現論, シューバート解析, 微分幾何学にも関わると思われるので, それらのさまざまな分野の専門家との議論と研究打ち合わせが重要となる. 機会を見つけては代数幾何学を含む上記分野などでの研究集会で自分の成果を発表し, また, 他分野の専門家との議論や研究打ち合わせを精力的に行って行きたい.
この成果を論文として纏め一段落したら, 当初の研究計画の方に戻る予定である.
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| 次年度の研究費の使用計画 |
計画していた２回の国内出張を中止したため. 本務校において2013年9月から学部数学科主任と大学院数学応用数理専攻主任とを兼任させられたため, 学内雑務が急激に増えた. その結果, 計画していた国内出張を取りやめざるを得なくなった.
国内出張と海外出張に使いたい. 先に述べた通り, 現在取り組んでいる「グラスマン束の次数」研究では, 代数幾何学のみならず, 表現論, シューベルトカリキュラス, 微分幾何学などの専門家との議論と研究打ち合わせがさらに重要となる. 積極的に機会を見つけて代数幾何学を含む上記分野などの様々な研究集会において自分の成果を発表し, また, 他分野の専門家との議論や研究打ち合わせを精力的に行ってゆきたい. 主任業務任期は2014年9月までなのでそれ以降はより一層, 研究課題に対して精力と時間を割くことができると期待している.
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