| 研究課題/領域番号 |
25400060
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| 研究機関 | 北海道大学 |
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研究代表者 |
吉永 正彦 北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (90467647)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | 超平面配置 / ミルナーファイバー / 実構造 / 二次曲線配置 / 特性多項式 / オイラー多項式 / エルハルト多項式 |
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| 研究実績の概要 |
本研究は実数体や有理数体上定義された超平面配置の幾何学的な構造を、実構造、極小性、モジュライ空間や有限体上の数え上げなど様々な観点から進めることを目標として、特に4つのテーマを設定していた：(A)実数体上定義された超平面配置のミルナーファイバーの研究、(B)直線-二次曲線配置のモジュライ空間の研究、(C)実構造を使った直線-二次曲線配置の研究、(D)自由配置の位相不変量の組合せ論的研究。2014年度は、(D)に関して大きな進展があった。
ルート系に付随した超平面配置は部屋の数がある種のグラフの数え上げ問題と関係するなど、数え上げ組合せ論との関係で広く研究されている。特に特性多項式の決定が重要なテーマである。Catalan配置やShi配置と呼ばれるものは自由配置となり、特性多項式の具体的な形が知られている。自由性などの代数的な性質を介したShi配置の特性多項式の計算は表示の簡単さに比べて著しく高度で、より組合せ論的な証明が望まれていた。また、Linial配置に関しては、PostnikovやStanleyにより、「関数等式」や「リーマン予想（零点が実部一定の直線上に並ぶ」が予想され、ABCD型についてはAthanasiadis氏により解かれていた。
Athanasiadis氏による格子点の数え上げの手法を発展させることで、Shi配置の特性多項式の組合せ論的導出、「関数等式」の証明、及び未解決のEF型のルート系に対する「リーマン予想」の部分的な解決を成果として得た。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
4つのテーマ(A)～(D)のうち、(B), (C)に関しては残念ながら今年度は進展はなかった。いくつか原因はあるが、一つはこのテーマを共同で研究し始めたTorielli氏と、今年度は(A)に集中していたこと、もう一つはそもそも(B)がある程度終わってから(C)に進む計画であったところ(B)を達成するめどが立っていないことなどである。状況を改善できるよう、テーマ(B)を進める研究体制を構築したい。
一方、テーマ(D)に関しては、研究を計画していた時点では想像もしていなかった大きな進展があった。当初はルート系に付随したShi配置の特性多項式の組合せ論的導出が目的であったが、そのために開発した手法（ルート系の余ウェイト格子の数えあげ）に少し変更を加えることで、Linial配置に対するPostnikov-Stanleyの予想へ応用できることが分かった。
テーマ(A)に関しては、直線配置の青本複体のコホモロジーを共鳴バンドを使って記述する成果が得られた。また論文として発表できる所までは達していないが、基本的な成果として、ミルナーファイバーとホモトピー同値な有限CW複体の記述を得た。このCW複体は、モノドロミー作用とも同変的であり、ミルナーファイバーのコホモロジーへのモノドロミー作用や、より精密で難しいとされる整数係数ホモロジーの記述などに応用を持つと期待している。
以上のように、当初の目標に比して、着実に進展している部分、遅れている部分、予想以上に進んだ部分が混在しているが「交付申請書」に記したフレームで測る限り、「やや遅れている」と判断するのが妥当だと考えている。
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| 今後の研究の推進方策 |
当初の研究計画を偏りなく実行するためには、直線-二次曲線配置のモジュライ空間の研究についての成果を発表することが不可欠である。現時点でも多くの知見が得られており、連携研究者の徳永浩雄氏と相談するなどして、発表可能な形を模索したい。
一方で、進展がないテーマにこだわりすぎずに、順調なテーマをのばしていくことも重要である。ミルナーファイバーの研究に関しては、得られたCW複体を使って具体的な成果を挙げられるよう研究を進めたい。例えば、一次の整数係数ホモロジー群がtorsion freeであろうという未解決問題があり、このような問題を視野に研究を進めたい。
現時点で研究代表者が進める必要性を最も強く感じているのは、有限体の数え上げと特性多項式に関するテーマ(D)である。このテーマに関する昨年度の成果から明らかになったことは、これまで独立に研究されてきた特性準多項式、ルート系の基本アルコーブのエルハルト（準）多項式、オイラー多項式などが密接にかかわることで、Linial配置の特性(準)多項式を記述するという事実である。これは古くから研究されているオイラー多項式の新しい側面を明らかにし、活発に研究されているエルハルト理論にも新たな知見をもたらす可能性がある。そして何よりもPostnikov-Stanleyによる「ルート系のリーマン予想」に対する最も有望な方針だと思われるので、特に力を入れて進めたい。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
3月に首都大学東京で行われたワークショップ Arrangements of plane curves and related problems での講演で、本研究の成果を含んだ発表をするため、本助成金により旅費を支出する予定であったが、旅費が他の経費で賄えることになり、本助成金は使わなかった。そのため、約４万円余ることとなった。
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| 次年度使用額の使用計画 |
今年度の研究成果により、当初あまり重要性を意識していなかった多面体、格子点、オイラー多項式、エルハルト多項式、トーリック多様体論等に関する情報を収集する必要が出てきたた。この方面の情報収集のための書籍購入および研究打ち合わせのための旅費として次年度に使用したいと考えている。
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