|
本研究では、３次元ユークリッド空間内の平均曲率一定曲面論を余次元２の場合へ拡張することを目指しており、４次元実空間形では新しい曲面がでてこないことが知られていることから、複素射影平面と複素双曲的平面内の実２次元平行平均曲率ベクトルを許容する曲面について、研究をおこなった。本年度に得られた結果としては、そのような曲面の局所的分類を完成させ、さらに、その結果を応用して、曲面がトーラスに位相同型である場合のはめ込みを決定した。昨年度までに、「複素２次元複素空間形内の実２次元平行平均曲率ベクトルを許容する曲面は一つの調和関数と５個の実定数により定まる」ことが、研究代表者により示されていたが、本年度において、「曲面の適当な座標変換と外側空間のある複素解析的等長変換により、どのような調和関数を取っても、全てある平行平均曲率ベクトル曲面の随伴曲面と合同になる」ことを示した。知られている結果とまとめると、非平坦な複素２次元複素空間形内の平行平均曲率ベクトル曲面全体は３種類の曲面族に分けられ、そのうちの２つはガウス曲率が一定で他の一つ（今回発見された曲面族）は負のガウス曲率をもち、複素双曲的平面内のみに存在することが示された。応用として、曲面がトーラスに位相同型である場合を研究した。このような曲面には２つの正則２次微分が存在することが知られているが、研究代表者の発見した特別な座標系ではそれらの２次微分の係数がどちらも定数になることが証明され、これを先に述べた曲面の分類定理に応用して「そのようなはめ込みは全実型で平坦となること」を証明した。
|
