| 研究概要 |
本年度は四次元ユークリッド空間内の超共形曲面の研究とツイスター正則曲面の高次元化の研究を行った.
ユークリッド空間内の曲面が超共形であるとは, 共形写像でありかつ曲率楕円が円になるものである. この曲面をパラメタ付けし, 四元数的正則幾何の方法を用いてリーマン面上の正則関数と類似する性質が成り立つことを示した. この結果は研究代表者の単独研究として論文にまとめarXivにアップロードし, 雑誌に投稿した。
ツイスター空間に正則なツイスターリフトを持つという性質があるパラメタづけられた曲面はツイスター正則曲面とよばれる. 四次元ユークリッド空間内のパラメタづけられた超共形曲面は, 四次元球面内のパラメタづけられたツイスター正則曲面の立体射影になっている. 正則なツイスターリフトは超共形曲面に正則関数と類似する性質を提供する. 従って, ツイスター正則曲面を研究することは, 本研究課題において大変意義深いことである. 余次元が２であるツイスター正則な曲面はよく研究されている. 研究分担者の長谷川和志は、この高次元化を研究し, 四元数的正則幾何における接続を分解する方法を用いて, ツイスター正則曲面の共形不変量を導入した. さらに, この共形不変量と共形面積と法束のチャーン類の間に成り立つ不等式を得た. さらに, 曲面の場合に, 法束のチャーン類の値をリーマン面の種数によって評価した. この結果は長谷川和志の単独研究として論文にまとめ雑誌に投稿した。
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