| 研究課題/領域番号 |
25400068
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 研究機関 | 東北大学 |
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研究代表者 |
楯 辰哉 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (00317299)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | 量子ウォーク / Hamilton作用素 / 連続時間量子ウォーク / 無限2面体群 / Chebyshev多項式 / Groverウォーク |
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| 研究概要 |
本年度は主に1次元量子ウォークのHamilton作用素とそれから付随するフーリエ乗法作用素について考察した。2012年度以前に行った量子ウォークの研究において、1次元の量子ウォークの局所漸近公式やChebyshev多項式を用いたベキ乗の明示公式が得られていた。Chebyshev多項式を用いたベキ乗の明示公式を得る際、無限2面体群の関係式が現れていたが、2013年度は1次元量子ウォークのHamilton作用素の明示的な表示式、そしてベキ乗計算に現れる無限2面体群の表現が正則表現であることを掲載した論文を出版した。また、Hamilton作用素の表示式から連続極限を経由して、以前局所漸近公式を得た後に考察した、弱極限の発散する点にまつわる「仮想的ポテンシャル」の問題についての情報が得られないか考察したが、残念ながら得られなかった。代わりにHamilton作用素の解析から、離散時間量子ウォークと連続時間量子ウォークの関連について、1次元においては離散時間量子ウォークの定義する行列の固有値を用いてフーリエ乗法作用素を定義し、スペクトルを調整することによって連続時間量子ウォークが得られることを明らかにし、Ambainisの提唱した問題の1次元についての部分的な解答を得た。更に2013年度は代数系をクラインの4元群と標準2次元格子との半直積群から定まる群環に対して1次元の場合と同様に定義されるユニタリ作用素を考察した。結果、これらのユニタリ作用素は二次元の量子ウォークのうち、とくにGroverウォークと呼ばれる特殊な量子ウォークと、それを含む4次のユニタリ群内の極大トーラスに対応した量子ウォークが得られることが分かった。このクラスの作用素の代数的な構造並びに漸近解析的な挙動の解明は今後の課題である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究は概ね順調に進んでいる。特に1次元の量子ウォークについては、ここ1、2年の研究でかなり理解が深まったと自負している。しかし一方で多少遅れている研究もある。2次元の量子ウォークの研究、半古典極限、一般の結晶格子上の量子ウォークの研究の三つである。
まず2次元量子ウォークの研究は、実は遅れているわけではなく、さまざまな角度からの考察を行っていて計算結果も蓄積されてきている。特に先に述べたがGroverウォークを含むいわば「Groverクラス」と呼ばれるべき2次元量子ウォークのクラスを設定し、このクラスの量子ウォークの代数的背景・力学的な性質は明らかにしてある。しかし実際に漸近挙動を調べるには5項間漸化式を満たす多項式系を考察する必要があるため決定的な定理を得るにはまだ時間がかかりそうである。この5項間漸化式はGroverウォークの場合、二つのChebyshev多項式の積を解に持つことが分かり、従ってGroverウォークについては調べやすいものと考えている。まずはGroverウォーク自身のベキ乗公式とそれを用いた漸近公式を得ることを当面の目標と考えている。
半古典極限については、本年度は直接は計算を進めていない。これは2次元量子ウォークの計算を優先させていることが原因である。しかし以前から研究を行っている内容で、特に1次元については既にかなりな程度計算が進んでいる。しかしまだ決定的な定理が得られていないため、論文として公表する段階には至っていない。特に初期条件をどのように持ってくるかで極限がかなり変わってしまう状況のため、多少慎重に研究を行う必要があると考えている。また2次元Groverウォークの半古典極限については上記のベキ乗公式と合わせて考察すべきであり、今後の進展が期待できる。
一般の結晶格子上の量子ウォークについては具体的な問題を定式化した段階で今後の課題である。
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| 今後の研究の推進方策 |
上記の研究実績の概要や達成度にも記載したが、現在特に力を入れているのが2次元量子ウォーク、特にGroverウォークとそれが定める「Groverクラス」の解析的性質の解明である。これについて具体的には、まずGroverウォーク自身の解析的な性質、特に局所漸近公式と大偏差原理におけるレート関数の導出を目標としている。現時点でGroverウォークのベキ乗の明示公式は得られている。しかしこれを用いて解析を行う際、多少難点がある。これはChebyshev多項式の性質とGroverウォークの固有値が連続スペクトルに埋め込まれている、という事実から来ているようである。この部分をまずクリアしなければならない。当面はこの部分の解析に取り組む。
また、先に言及した「Groverクラス」に属する量子ウォークの解析的側面の研究を進めたい。これらの量子ウォークについてもベキ乗公式を得ることは原理的に可能である。しかし問題はそこに現れる5項間漸化式を満たす多項式系の漸近解析的性質である。これらは先にも述べた通り二つのChebyshev多項式の積の一般化となっているが、一般に直交多項式の積として書き表されるものかどうか不明である。従ってその漸近解析的性質は自明ではなく、今後早い段階で取り組むべき問題である。
1次元量子ウォークないし2次元Groverクラスの量子ウォークについては、その半古典解析も等しく重要な問題である。特にこれらはユニタリ群の既約表現を用いた解析となり、Borel-Weil理論を用いることが出来る。具体的な計算はまだ1次元の場合のみ行っている段階であり、今後は2次元Groverクラスの量子ウォークについても同様の問題を考察することを念頭においている。
Ko-Yooによる高次元量子ウォークの弱極限の存在定理が最近出版されたが、更に一般化し結晶格子上での量子ウオークの弱極限の存在を示したい。
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| 次年度の研究費の使用計画 |
当初、2014年3月に行われた「2014年度日本数学会年会」(於学習院大学)に3月15日から3月18日まで参加する予定で、その旅費と滞在費に研究費を使用する予定であったが、3月12日に実母が他界したため、葬儀等により学会には3月17日からの参加(前日16日に目的地到着)に変更し、しかも実家のある宮崎から直接学会会場の東京へ向かうという旅行日程に変更した。この旅行日程の変更により次年度使用額が生じた。
次年度の研究費と合わせて上記の次年度使用額を、主に二回の国際会議への出席と本年度購入できなかったノート型パソコンを購入するために使用する予定である。
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