研究課題
平成２７年度は主に周期的ユニタリ推移作用素の局在化現象について研究した。周期ユニタリ推移作用素とは、一般次元の整数格子上の有限次元複素ベクトル空間に値を取る２乗可積分関数からなるヒルベルト空間上の、整数格子の群作用と可換なユニタリ作用素のことであり、昨年度導入した概念である。これらは、定数コインで定義される一般次元の通常の量子ウォークやそれらの積などを含む十分大きなクラスであり、しかも平成２６年度、このクラスのユニタリ作用素に対する局在化は、フーリエ変換で定義されるユニタリ行列値関数の定数固有値の存在と同値であることを示した。しかしながら、定数コイン行列で定義される量子ウォークはそのコイン行列のみで決定されているため、コイン行列の性質により局在化の判定ができるようになることが望ましい。そこで本年度は小松尭氏と共同で、この問題について研究した。設定は、通常の定数コイン量子ウォークよりも多少一般な、特殊な周期ユニタリ推移作用素に対して行った。これらはやはり定数コインで定義されるのだが、使用する直交射影子の族が通常のものとは異なり、この一般化により定数コインの固有空間と直交射影子とがどのような関連にあるときに局在化現象が起こるかが明確になるものと期待した。期待通り、特に定数コイン行列の２乗が１となる場合には、局在化現象が起こるための必要十分条件を、コイン行列の固有空間とある行列の関連に関する条件として得ることに成功した。また、上記のようなユニタリ作用素２つの積を取った周期的ユニタリ推移作用素にたいしても同様の問題を考察したが、この場合（緩やかな条件のもとで）必ず局在化現象が起こることを証明した。現在、２乗して１となるという条件を取り去った場合を考察しており、これまで知られていなかったフーリエ・ウォークに対しても局在化現象の判定条件を得られないか、小松氏と共同研究中である。
3: やや遅れている
研究自身は順調に進んでいるものの、成果の公表が若干遅れている。実際、平成２６年度に得られていた、周期的ユニタリ作用素のスペクトルと局在化現象に関する論文を、適切に修正し公表する必要があるものの、本研究課題に即した、先に記載した小松氏との共同研究を優先させたことや、通常業務等により残念ながら公表に至っていない。平成２８年度には是非公表できるよう、準備したい。研究自身は概ね順調に進行している。先の研究実績の概要欄には記載しなかったが、平成２７年度末には半古典解析の問題に再び着手した。これは平成２６年度に着手する予定であった研究であり、多少遅れていたが、本年度行った研究により、かなり状況が明確になった。実際、平均等の重要な量の漸近挙動は既に得られていて、適切なスケーリングもおおよそ特定できている。しかしながら、目標であるガウス分布の出現には至っていない。通常の独立同分布の確率変数族に対する中心極限定理と異なり、平均による平行移動によっては、指数の肩のある部分が消去できないため、その部分を処理しなければならない。なお、ツリー等の一般のグラフ上の量子ウォークの研究は現在のところ着手できていない。斉次なツリー上ではフーリエ変換を使用できるため、ある程度整数格子の場合と同様の議論が可能であろうと当初考えていたが、整数格子の場合、対応する種々の関数の正則性が重要であるのに対し、ツリー上では正則性が期待できないためである。また、結晶格子（有限グラフのアーベル被覆グラフ）への拡張の前段階として、平成２６年度に周期的ユニタリ推移作用素を導入しスペクトルを調べたが、一般の結晶格子においては自然なシフト作用素を構成できず、もう一工夫が必要な段階である。
今後は平成２７年度に引き続き小松尭氏との局在化現象についての共同研究、１次元定数コイン量子ウォークの半古典解析を、まず行って行きたい。特に一般の周期的ユニタリ推移作用素のスペクトルと局在化現象に関する論文は、特に間違いがある訳ではないのだが、他の研究者の成果との関連を調べることで時間がかかっているため、それを行い公表に踏み切りたい。小松氏との共同研究はかなり進展している。現時点で一般の定数コイン行列に対する局在化現象の判定条件が得られるのではないかと期待している。しかしながらその判定条件が複雑であれば使用することは難しい。その判定条件がフーリエ・ウォークやその他のベキ等性を持つ定数コイン行列に対してうまく働くかを検討する必要がある。半古典解析は、現在もっとも力を入れたい研究内容である。実際、先に記述したが概ねその構造は把握できていると言って良い。実際、論文にしてもおかしくない程度の成果はあがっている。しかしながら現在技術的に煩雑・困難な状況に直面している。その部分を乗り越えて公表したいと考えており、時間をかけて研究する必要がある。半古典解析に関する研究は、現在までに数値解析的な結果しか知られておらず、全く新しいものになると、期待している。また平成２７年度には、単体複体上の量子ウォーク（ゼゲディ・ウォーク）についての情報収集も行った。単体複体上の量子ウォークは極最近、松江らにより導入されたが数値解析的な結果しか知られていない。定義自身の修正も検討する必要があるものの、数値解析的な結果からはホモロジーと量子ウォークの挙動との関連が示唆され、非常に興味深いものである。次年度以後は、この方向の研究も行って行く予定である。
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Trends in Mathematics, Proceedings of XXXIV Workshop on Geometric Method in Physics
巻: 未定(論文集のため) ページ: 243-260
