| 研究課題/領域番号 |
25400071
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 研究機関 | 大阪大学 |
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研究代表者 |
坂根 由昌 大阪大学, その他部局等, 名誉教授 (00089872)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | 等質アインシュタイン多様体 / 一般化された旗多様体 / リー群上の左不変計量のなす空間 / Stiefel 多様体 / リーマンサブマーション / リッチテンソル / 等質ケーラー計量 / グレブナー基底 |
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| 研究概要 |
等質空間上のリッチテンソルが正の不変なアインシュタイン計量の研究を、ArvanitoyeorgosおよびChrysikosと共同で行った。一般化された旗多様体上の不変なアインシュタイン計量の研究について、等方部分群により４つ以下のの既約成分に分解される場合の研究は２０１２年頃にほぼ完成していたが、一般化された旗多様体Sp(n)/(U(p)xU(n-p)) について得られた非ケーラーなアインシュタイン計量が等長変換を除いて一意的であるかどうかは不明であった。これについて、等長であることを示した。また、等方部分群により５つの既約成分に分解される場合の一般化された旗多様体を全て分類し、この多様体上の不変なアインシュタイン計量の研究を行い、アインシュタイン計量を全て分類した。さらに、等方部分群により６つの既約成分に分解される場合に関しては、t-ルートが G2型 の旗多様体上の不変なアインシュタイン計量の研究を行い、不変なアインシュタイン計量をすべて見いだした。
さらに、Stiefel多様体上の不変な計量の研究を開始し、新しいアインシュタイン計量を見つけることに成功した。コンパクト単純リー群上の新しいアインシュタイン計量の存在を研究する問題にこの方法を用いることにより、直行群上のnaturally reductive でない新しいアインシュタイン計量の存在を示せた。さらに、F4、G2型のコンパクト単純リー群に関しては、等方部分群により３つの既約成分に分解される場合の一般化された旗多様体を用いることにより、naturally reductive でない新しいアインシュタイン計量の存在を示せることがわかった。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
一般化された旗多様体上の不変なアインシュタイン計量の研究について、等方部分群により５つの既約成分に分解される場合を全て分類し、この多様体上の不変なアインシュタイン計量を全て分類した。また、６つの既約成分に分解される場合は、t-ルートが G2型 の旗多様体上の不変なアインシュタイン計量の研究を行い、分類を完成させた。これには、リー環の表現論およびリーマンサブマーションの理論が有効であること、また、等質なケーラーアインシュタイン計量の情報とを組み合わせることが、計量のリッチテンソルを決定する上で重要であったが、この有効性が再確認できた。また、コンパクト単純リー群上の新しいアインシュタイン計量の存在を研究する問題に関しても、naturally reductive でない新しいアインシュタイン計量の存在を示せた。
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| 今後の研究の推進方策 |
引き続き、一般化された旗多様体上の不変なアインシュタイン計量の研究を行なう。第２ベッチ数が２である一般化された旗多様体のうち例外型のものは、最近、ロシアの数学者により分類されたので、これを利用して、リッチテンソルを求めることを研究する。
コンパクト単純リー群上の新しいアインシュタイン計量の存在を研究する問題に関しても、一般化された旗多様体を利用する方法、および、Stiefel多様体を利用する方法を考える。これらのファイブレーションに付随したコンパクト単純リー群上の計量を考察し、naturally reductive でない新しいアインシュタイン計量の存在を研究する。さらに、他のファイブレーションを利用して、同様の考察ができないかについても、検討する。このためには、リッチテンソルの計算、および、アインシュタイン方程式（代数方程式となる）の解を求めることが問題となるが、グレブナー基底を計算する方法を引き続き用いる。
また、本研究で必要となる研究費は、本質的に旅費である。これは次年度においても変わらない。国内・国外の各地で開催される研究集会やセミナーに積極的に参加して、多くの研究者との意見交換を通じて最新の研究成果や結果を収集する。また、研究集会は得られた成果を発表する場でもある。これらの目的のため，旅費を有効に活用する。
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| 次年度の研究費の使用計画 |
海外共同研究者を招聘する予定であったが、先方の都合により、２０１５年３月に延期したため旅費の使用額が少なくなった。
本研究で必要となる研究費は、本質的に旅費である。これは次年度においても変わらない。国内・国外の各地で開催される研究集会やセミナーに積極的に参加して、多くの研究者との意見交換を通じて最新の研究成果や結果を収集する。また、海外共同研究者を日本に招聘し、コンパクト等質空間上のアインシュタイン計量についての共同研究を行なう。
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