| 研究課題/領域番号 |
25400076
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 研究機関 | 東京理科大学 |
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研究代表者 |
小池 直之 東京理科大学, 理学部, 准教授 (00281410)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | 幾何学 |
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| 研究概要 |
平成２２年度から、無限次元ヒルベルトリー群のある種の余等質有限な自由な等長作用をもつ無限次元ヒルベルト空間内の、その作用により不変な超曲面を初期データにもつ(正則化された)平均曲率流の研究を創始した。この研究に関して、前年度までにその平均曲率流に沿ういくつかの基本的な幾何学量が満たす発展方程式を得、さらに、それらの発展方程式を用いて、その平均曲率流に沿ってある種の強凸性条件が保存されることを示した。この作用の軌道空間は、有限次元リーマン多様体であり、この研究は、その軌道空間として生ずる有限次元リーマン多様体内の超曲面を初期データとしてもつ平均曲率流の研究を無限次元線形空間へリフトして研究を行うためのものと解釈される。
本年度の主な研究成果の１つは、その無限次元ヒルベルトリー群の作用がより一般に概自由な作用である場合に、同様な研究を推進し，その平均曲率流に沿って同種の強凸性条件が保存されることを示したことである。この作用の軌道空間は、有限次元リーマンオービフォールドであり、この研究は、その軌道空間として生ずる有限次元オービフォールド内のオービ超曲面を初期データとしてもつ平均曲率流の研究を無限次元線形空間へリフトして研究を行うためのものと解釈される。ここで、リーマンービフォールド内のオービ超曲面(一般に、オービ部分多様体)を発する平均曲率流の定義、および、理論が定式化されていなかったため、正式にその定義を行い、理論を組み立てる必要があったことを注意する。
その他、コンパクト型対称空間内のある種のコンパクト超曲面を発する平均曲率流に関する研究，非コンパクト型対称空間内の逆平均曲率流に関する研究，コンパクト型対称空間内のある種の非等方性エネルギー汎関数に関する研究、および、無限次元アンチケーラー空間内のある種のアンチケーラー等径部分多様体の等質性に関する研究を推進させた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本年度中に、無限次元ヒルベルトリー群のある種の余等質有限な概自由な等長作用をもつ無限次元ヒルベルト空間内の、不変な超曲面を初期データにもつ平均曲率流に沿うある種の強凸性定理を、いくつかのデリーケートな議論を要する箇所を乗り越えて証明することができた。また、無限次元アンチケーラー空間内のある種のアンチケーラー等径部分多様体の等質性に関する発展的結果を証明することができた。さらに、コンパクト型対称空間内のある種のコンパクト超曲面を発する平均曲率流に関する研究，非コンパクト型対称空間内の逆平均曲率流に関する研究、および、コンパクト型対称空間内のある種の非等方性エネルギー汎関数に関する研究をある程度推進させることができた。
以上のように、本年度の研究計画の内容を、ある程度、達成することができた。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後、無限次元ヒルベルトリー群のある種の余等質有限な概自由な等長作用をもつ無限次元ヒルベルト空間内の、不変な超曲面を初期データにもつ平均曲率流に沿うある種の崩壊定理を、本年度得た強凸性定理を用いて証明する予定である。また、コンパクト型対称空間内のある種のコンパクト超曲面を発する平均曲率流に関する研究，非コンパクト型対称空間内の逆平均曲率流に関する研究、および、コンパクト型対称空間内のある種の非等方性エネルギー汎関数に関する研究を、さらに、推進させていきたいと考えている。
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| 次年度の研究費の使用計画 |
予定していた海外出張に行くことができなかったこと、および、予定していた外国研究者の招聘を実施することができなかったため。
外国研究者の招聘をいくつか行うと共に、海外出張を行う予定である。
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