| 研究課題/領域番号 |
25400077
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| 研究機関 | 北海道大学 |
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研究代表者 |
足立 二郎 北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 非常勤講師 (20374184)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | 接触構造 / ラウンド手術 / 過旋性 / シンプレクティック充填可能性 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の大きな目的は，ラウンド手術の視点から接触トポロジーの統一理論を目指すことにある. ２０１４年度に行った研究では，前年度に引き続き，おもに高次元への一般化について考察した．今年度はBormanさん，Eliashbergさん，Murphyさん達によって高次元における接触構造の過旋性についてのホモトピー原理に基づく定義がアナウンスされ，この分野に関しても激動の１年であった．本研究もその影響を受けることになった．
接触構造とは，奇数次元の多様体上の余次元１の部分接空間の分布で，ある意味で常にねじれているものである．それがある意味で過剰にねじれきっている状態にあることを過旋であるという．この「過剰にねじれきった」という状況を定義する言葉が決定されたのである．私や他の人達がこれまでに提案した高次元Lutzねじりは，過旋性より少し狭い（と思われる）シンプレクティック充填（不）可能性を基準にしていた．私は前年度の研究で３次元の議論からの一般化として２種類の高次元Lutzねじりを構成していたのだが，その２つでシンプレクティック充填性だけを語るのは不自然に感じていた．そのために本年度になって第３の高次元Lutzねじりを構成出来ることに気づいた．そしてそこに新たな過旋性の定義が提唱されたのである．私の構成した３種類の高次元Lutzねじりを詳しく検証することにより，これらがそれぞれ「過旋性」，「弱いシンプレクティック充填不可能性』，「強いシンプレクティック充填不可能性」を作り出すことを示すことが出来た．これは，この接触ラウンド手術の方法の有効性を意味するものである．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
接触ラウンド手術という方法を使って，高次元や高階を含む接触構造の統一理論を作ることが本研究の目的である．この方法を使って高次元での過旋性を考察することは重要な目的の一つであった．先に決定的な結果が発表されたことは少し残念ではあるが，ラウンド手術を使った議論で構成していたものがまさにそれに適合していたのである．それは，この方法が適切な方向をむいていることを確認するものでもある．その意味で，この研究課題の達成に向け順調に進展していると考えられる．
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| 今後の研究の推進方策 |
今後とも，本研究の大きな目標である接触トポロジーの統一理論を目指して研究を進めて行く．高次元においても接触ラウンド手術という方法は有効なものであることが確認出来た．高次元においてさらに考察をすすめるべきことがいくつかあるが，それとともに更なる一般化にも舵を切っていきたい．
高次元の接触トポロジーは急速に動き出した感があり，国内外の研究者と最新情報を交換しつつ研究を進めたい．
更なる一般化には，また新たな自分の中での基盤の考察と，また違った分野の研究者との議論によって，研究を推し進めていきたい．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
新しい計算機の購入を予定していたが，現在使用中のものがまだギリギリ使用可能なので，次年度に購入を先送りすることにした．
海外の研究者との直接の打ち合わせのための渡航を計画していたが，予定が合わなかったことや，自分の研究の近い将来の更なる進展が見込めたことなどから渡航を次年度に先送りすることがよいと判断した．
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| 次年度使用額の使用計画 |
分野が急速に動いていることもあり，専門家と直接に会って議論し情報を交換する必要がある．そのために旅費等として研究費を使いたい．また新たな方向への展開のために書籍等からの知識の吸収が必要で，書籍費等も予定している．論文作成や資料収集に計算機は欠くことが出来ないが，現在使用しているものがうまく働かなくなってきた．計算機の今年度の購入を予定している．
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