| 研究課題/領域番号 |
25400087
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
岸本 大祐 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (60402765)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | polyhedral product / ゲージ群 / Samelson積 / Stanley-Reisner環 |
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| 研究実績の概要 |
polyhedral productとは空間対と抽象単体複体から作られる直積空間の和をとることで定義される空間である。polyhedral productは工事ホモトピー作用素、群のグラフ積（right-angled Artin群など）、座標部分空間配置やトーリックトポロジーなどと密接な関係がある重要な研究対象である。多くの場合はpolyhedral productのホモトピー群やコホモロジーなどのホモトピー不変量を通して他の数学的対象と結びつくため、polyhedral productのホモトピー型を記述することは非常に重要である。私は連携研究者入江との共同研究により空間対がある空間とその錐という非常に重要な場合にpolyhedral productにフィルトレーションを定義し、そのフィルトレーションの組み合わせ的な記述を与えた。それによりBahri-Bendersky-Cohen-Gitlerによるpolyhedral productの懸垂の分解の懸垂を排除するための十分条件を与えた。これにより、Grbic-TheriaultやGrujic-Welkerらの結果を飛躍的に進歩させることに成功した。具体的にはdual sequentially Cohen-Macaulayというクラスの単体複体に対してpolyhedral productの分解を与えた。この手法はさらに広いクラスの単体複体に対する分解への応用が期待される。
ゲージ群の研究においては構造群が高階数のリー群に対してmod p分解の改良を行い、ある程度大きな素数pに対するゲージ群のホモトピー型の分類を行った。また、これからの仕事につながる、例外群のSamelson席の計算をp-regularの場合に行った。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
polyhedral productの懸垂はBahri-Bendersky-Cohen-Gitlerらによってより小さな空間のウェッジに分解することが示されている。この分解は直積空間の懸垂のウェッジ分解の単純な一般化であるため、懸垂をせずに分解するためにはpolyhedral productを定義する抽象単体複体の組み合わせ論的データとpolyhedral productとを幾何学的に結びつける必要がある。しかし、これまでの研究ではこの単純な路線は追及されておらず非常に特殊な方法でのみ研究が行われてきた。そこで私は連携研究者入江とpolyhedral productと抽象単体複体とを幾何的に結びつける研究に着手し、あるフィルトレーションによりそれが可能であることを発見した。これによりpolyhedral productの研究は飛躍的に進歩した。
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| 今後の研究の推進方策 |
polyhedral productと抽象単体複体組み合わせ論的データをあるフィルトレーションにより幾何的に結びつけることに成功し、いくつかその応用を得た。よって今後はさらに深い応用、具体的にはdual sequentially Cohen-Macaulayというクラスの単体複体を含むより広いクラスや、それとは別個のクラスの単体複体に対して上の結果を応用する。また、polyhedral productの分解と抽象単体複体のある性質とが同値になるような抽象単体複体のクラスを発見し、研究の深化をはかる。一方でpolyhedral productの分解とco-H-空間のホモトピー論との関係がわかってきたので、その方向でも研究を行い、polyhedral productの分解の理解を深める。
ゲージ群の研究に関しては従来通り具体的なリー群のSamelson積を計算することによりホモトピー型を決定する。特に非単連結なリー群や階数が3のリー群を扱う。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
残額での物品購入と出張が不可能だったため。
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| 次年度使用額の使用計画 |
招聘予定の外国人の旅費に充てる。
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