| 研究課題/領域番号 |
25400090
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 研究機関 | 神戸大学 |
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研究代表者 |
佐藤 進 神戸大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (90345009)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | タングル分解 / 曲面結び目 / 溶接結び目 / 仮想結び目 / ステイト数 / フォックス彩色 |
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| 研究概要 |
本研究の課題は曲面結び目の性質を曲面タングル分解という観点から明らかにすることである。本年度に行った研究は大きく３つに分けられる。
（１）まず「自明な」曲面タングルという概念を導入した。４次元ボール内の何本かの３次元１ハンドルから得られるアニュラスを成分にもつタングルを自明と定義する。このとき、自明な曲面タングルを２つ貼り合わせて得られる曲面結び目（トーラスの埋め込み）は常にリボン型になること、また逆に、任意のリボン型の曲面結び目は自明な曲面タングル分解をもつことを示した。その応用として、溶接結び目の橋指数に関する２つの定義（ある方向に関する極大点の個数の最小値と、射影図上での上方の橋の本数の最小値）が一致することを示した。この結果は仮想結び目ではこの２つの定義が一致しないという平澤・鎌田・鎌田の結果と比較すると大変興味深い現象である。
（２）次にリボン型の曲面結び目を表す溶接結び目ついてさらに研究を進めた。溶接結び目は仮想結び目のある同値類とみなされる。この仮想結び目は古典的結び目の自然な拡張となっていて、ジョーンズ多項式も定義される。そこでカウフマンのステイトモデルに着目し、各射影図においてちょうどk個の円周からなるステイトの個数の最小値を、その仮想結び目のkステイト数と定義した。これは仮想結び目の複雑さを表す初等的に定義される不変量であるが、その振る舞いを調べると大変興味深い性質がいくつも分かった。特に、１ステイト数や２ステイト数が０となる仮想結び目は自明なものに限るのに対し、３ステイト数が0となる仮想結び目は無限個存在し、その宮澤多項式や拡張されたねじれ数に制限がつくことを明らかにした。
（３）仮想結び目や曲面結び目のフォックス彩色に関して「効果的」という自然な概念を導入し、特に効果的１１彩色に用いられる色の種類の最小値が５であることを示した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
本年度は曲面タングルの自明性を定義し、２つの自明な曲面タングルの和として得られる曲面結び目がどのようなものになっているかを調べることであった。その結果、研究実績の概要で記述したとおり、得られる曲面結び目はリボン型のものであり、また逆に、任意のリボン型の曲面結び目は自明な曲面タングルの分解をもつことが示せた。さらにそのときのタングルに含まれるアニュラスの数の最小値は、リボン表示におけるベース数と一致することも示せた。その結果、当初予想していなかった溶接結び目の橋指数に関する結果を得ることができた。そこでさらに進めて、溶接結び目（および仮想結び目）の不変量に考察を広げて、ステイト数という新しい不変量の性質を明らかにした。またさらに発展して、フォックス彩色に関しても効果的という概念を導入することで興味深い結果を得た。これらは当初計画していた自明な曲面タングルとは異なる、曲面結び目の研究に関する新しいアプローチである。
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| 今後の研究の推進方策 |
本年度の研究の進捗状況を踏まえて、今後の研究の方針を次のように考えている。
（１）リボン型でない曲面結び目の曲面タングル分解を調べる。例えば、ツイストスパン結び目やロールスパン結び目の曲面タングル分解として、なるべく「きれいな」分解をみつけたい。これとカンドルコサイクル不変量とを関連づけて、その計算に役立てられないか考察する。
（２）リボン型の曲面結び目を表す溶接結び目について、その性質をさらに調べる。例えば、実交点における交差交換は仮想結び目では結び目解消操作ではないことが知られているが、溶接結び目に対してはそうではないように思われる。もし結び目解消操作であるとすると、そこから派生して興味深い現象が起こることが予想される（シータグラフによる溶接結び目の実現やシータ型曲面による曲面結び目の実現など）。
（３）仮想結び目のステイト数について、さらに研究を進めたい。現時点では１、２、３ステイト数についてかなり分かってきたが、４以上ではどうだろうか。また一般に与えられた自然数kに対して、１ステイト数がkである仮想結び目は有限個なのか無限個なのかは大変興味深い問題である。
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| 次年度の研究費の使用計画 |
物品等が予定よりも安く購入できたため。
２６年度に合わせて使用する。
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