| 研究課題/領域番号 |
25400095
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 研究機関 | 大阪市立大学 |
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研究代表者 |
枡田 幹也 大阪市立大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (00143371)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | toric variety / コホモロジー剛性問題 / Peterson variety / toric origami manifold |
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| 研究概要 |
次の３つの研究成果を得た．
① 数年前に「コホモロジー環はトーリック多様体の微分同相類を決定するか」という問題をコホモロジー剛性問題として提起し，これまで幾つかの部分的肯定的結果が得られている．コホモロジー環が同型でも微分同相ではない閉多様体は沢山あるので、トーリック多様体という綺麗な多様体に限ると肯定的となれば特筆すべき事実と思う。また例え否定的でも、肯定的な場合もあるので何が関係しているかを調べることは本質的な頗る面白い問題であると思う。ボット多様体（Hirzebruch曲面の高次元版）と呼ばれる特殊なトーリック多様体の族に限ってもこの問題は十分に面白いが，今回，S.Choi氏と村井聡氏との共同研究で，Z/2係数コホモロジー環が，CP^1の直積と同型なBott多様体に関しては，コホモロジー剛性問題が正しいことを示した．
② 旗多様体には，Hessenberg variety と呼ばれる興味深い subvariety の族がある．有名な，Springer variety はHessenberg variety である．一方，量子コホモロジーに関連して，Peterson variety と呼ばれる subvariety がある．今回，福川，原田両氏と，Ａ型のPeterson variety のコホモロジー環を決定した．特に，Bayegan-Haradaの予想の肯定的解決をも与えている．
③ Cannas da Silva-Guillemin-Pires により，シンプレクティックトーリック多様体の概念を拡張したトーリック折り紙多様体という概念が導入された．S. Park氏との共同研究で，この概念と multi-fan との関連を調べ，T^2作用をもつ単連結４次元多様体はトーリック折り紙多様体であることを示した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
コホモロジー剛性問題に関しては，Bott多様体に限ってではあるが，肯定的解決にかなり近づいて来たと思う．特に，Bott多様体のコホモロジー同型写像が Pontrjagin類を保つことを示せてのは，大きな進展であったと思う．
また，トーリック折り紙多様体という新しい数学的対象に関して寄与が行えた．また，この対象は，解決すべき問題が沢山あり，今後の研究課題が見つかった．
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| 今後の研究の推進方策 |
Peterson variety は，各リータイプに対して存在するが，それらのコホモロジー環は，Ａ型の場合と同様にして求められると思われるので，まず，それらを決定する．
トーリック折り紙多様体のトポロジー，特に，コホモロジー環を，S.Park氏，および，外国人特別研究員として，大阪市大に滞在している A. Ayzenberg氏，留学生の曾昊智らと進めているが，この共同研究を引き続き進める．
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