研究概要 |
今年度は3次元球面内のトーラス結び目の場合にその結び目群の副有限完備化に関する研究を行った。トーラス結び目は互いに素な正の自然数(p,q)に依って記述される。それに依って定まるトーラス結び目をT(p,q)と表し、その結び目の補空間の基本群(以下、単に結び目群と呼ぶ)をG(p,q)と表す事にする。 G(p,q)は無限巡回群を中心に持ち、その中心での商群を考えるとそれは位数pの有限巡回群と位数qの有限巡回群の自由積という構造をもつ事が知られている。 2つのトーラス結び目T(p,q)とT(p',q')が与えられたときに、その結び目群の副有限完備化が同型ならば、元々の結び目群G(p.q)とG(p',q')は同型か、すなわちT(p,q)とT(p',q')は結び目として同型か?という問題に関して研究を行ない、これは正しい事を証明した。これは中心の無限巡回群のG(p,q)の中で副有限完備化がそれ自身の副有限完備化になる事、副有限完備化の間に同型写像が存在するときに、その中心の副有限完備化の限がどのように対応しているか、また中心で割ってその商群の位数pの有限巡回群と位数qの有限巡回群の自由積の副有限完備化を比較する事により証明される。2つの群の副有限完備化の比較に関しては、それらの副有限完備化が同型である事と元々の2つの群それぞれから任意の有限群への準同型写像の全体の集合が同一視される事を用いる事によりなされる。
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