| 研究課題/領域番号 |
25400114
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 研究機関 | 神戸大学 |
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研究代表者 |
小池 達也 神戸大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (80324599)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | 完全WKB解析 / Borel総和法 / middle convolution / Voros 係数 / 無限階微分作用素 / 特異摂動 |
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| 研究概要 |
(1) 高階線形常微分方程式のVoros係数とmiddle convolution．
近年，複素領域の線形常微分方程式論では middle convolution を用いた研究が著しく進展し，諸成果が挙げられてきている．この観点から WKB 解析を考察することは重要であろうと考えられ，middle convolution が WKB 解の Borel 変換像の解析的性質にどのように反映されるかに興味が持たれる．Middle convolution により方程式にはパラメータが導入されるが，二階線形常微分方程式についてはWKB 解の Borel 変換像の解析的性質のパラメータ依存性は Voros 係数を通して良く理解できることが知られている．そこで今年度は高階線形常微分方程式についても Voros 係数を導入し，不確定特異点を端点とする Voros 係数の，middle convolution により導入されたパラメータに関する依存性をgeneric な仮定のもとで明らかにした（京都大学数理解析研究所の岩木耕平氏と共同研究）．
(2) 無限階微分作用素の完全WKB解析への応用．
高階線形方程式の変わり点近傍での WKB 解析は，作用素の割り算により二階の方程式に帰着させることが多いが，単純極型高階線形常微分方程式で一番generic な方程式を割り算して得られる二階の方程式は二階の単純極型として良くわかっている方程式のパラメータを「大きく」スケーリングしたものになる．このように方程式に含まれるパラメータを「大きく」なるようにスケーリングして得られる方程式が重要になる例が幾つか見られる．そのような方程式のWKB解のBorel変換像の解析的性質を無限階作用素を用いることで研究した．（京都大学数理解析研究所の河合隆裕氏，神本晋吾氏と共同研究）．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
これから建設されるはずの高階線形常微分方程式の理論において重要な役割を担うと考えられる Voros 係数の理解が著しく深められ，従って WKB 解のBorel 平面での解析的性質の理解も進んだ（「研究実績」の（１））．漸近解析の種々の手法を Borel 平面の観点から見直そうという研究計画においては，これらの知見は今後研究を遂行する上で（特に平成 27 年度に実施する計画である研究において）重要になると考えられる．
さらに，「研究実績」の（２）にあるように，従来の手法では解析が難しかった幾つかの方程式が無限階微分作用素を援用することにより解析できた．この研究の要点は方程式に含まれているパラメータに大きなパラメータを含ませた場合の解析にあり，これはまさに monomial summability の考え方でもあることから，無限階微分作用素（あるいは超局所作用素）を用いた解析と monomial summabilityとが密接に関係してくるものと考えられる．特に我々の方法は Borel 平面での解析であることから，「monomial summability のBorel 平面における解析の対応物」を探る今後の研究の足掛かりの一つになると期待できる．このように， monomial summability に直接関連する研究自体は実施できなかったものの，今年度の研究は来年度以降に実施する研究を先取りした形になり，研究目的を遂行する上での準備は整いつつあると考えている．
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| 今後の研究の推進方策 |
平成 26 年度に実施するはずの研究を平成 25 年度に先取りして実施した形にはなったが，monomial summability とBorel 平面における超局所作用素を用いた解析の関連性が見えてきたので，それをより詳しく調べたい．そのためにも mononial summability の理解を深める必要があるが，平成 25 年度に扱った方程式は手頃な例であると思われるし，二階線形常微分方程式の WKB 解の Borel 総和可能性の証明の再検討も必要であると考えている．Multisummability が必要となる二階線形常微分方程式も良い例になると思われ，これらの方程式のうち適切なものを題材として研究を実施していきたい．
また，本研究ではパンルヴェ方程式などの非線型方程式も視野に入れていることから，WKB 解析において構成される instanton 解などの（解析的意味付けの）研究も考えている．
これらの問題に関して昨年度と同じく Strasbourg 大学（フランス）の Schaefke 氏を訪問し議論することも考えている．
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| 次年度の研究費の使用計画 |
一つには諸事情により計画していた Strasbourg 滞在が短期に終わったことが挙げられる．またコンピューター及び関連機器の購入費も計画より少額となった．
平成 25 年度で余った予算は海外での研究打合せの旅費，及び，国内での研究発表や研究打ち合わせの旅費として有効利用する予定をしている．
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