| 研究課題/領域番号 |
25400116
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| 研究機関 | 立命館大学 |
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研究代表者 |
内山 充 立命館大学, 理工学部, 教授 (60112273)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | Loewner-Heinz inequality / Operator monotone / Orthogonal polynomials / Jacobi operator / Operator convex |
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| 研究実績の概要 |
実軸の区間I で定義された実数値連続関数f(t) が与えられたとき，I にスペクトルを持つすべての有界自己共役作用素(あるいは行列)X に対してf(X) が定義できる。この作用素関数f(X) を作用素順序，固有値分布，解析接続の観点から研究し，作用素の摂動による固有値の非線形現象を解析すると共に関数f(t)が多項式あるいはガンマ関数などの特殊関数の場合に応用し，多項式系やガンマ関数等の研究を推進していくことがこの研究課題の目的である。平成２６年度の具体的目的は次のとおりであった。
第一の目的: 作用素単調関数と直交多項式系，Jacobi 作用素，連分数との関係の解明。
第二の目的: Loewner-Heinz 不等式の逆が成立するための条件の考察。
第一の目的については作用素単調関数と直交多項式系，Jacobi 作用素がそれぞれ一意的に対応していることを示し、その対応関係も明記できることを示した。その結果は, J. Math. Anal. Appl. 401(2013) に掲載された。また大阪教育大学での「作用素論・作用素環論研究集会」でも発表した。ただ、連分数との関係は今後の課題として残っている。第二の目的に関しては、0 < a < 1 のとき、A≦BならばAa≦Baであるが逆は成立しないということがLoewner-Heinz 不等式である。このことについてA +λI ≦ B +λI がすべてのλ> 0 について成立することと(A+λI) a ≦ (B+λI) a がすべてのλ> 0 について成立することは同値であることを示した。そしてもっと一般的な結果を、Proceeding of the Edinburgh Math. Soc. 57(2014)に発表した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
平成２５年度・２６年度ともその研究目的をほぼ達成し、その成果はJ. Math. Anal. Appl. とProc. Edinburgh Math. という数学の専門雑誌に掲載された。また、学会・研究集会でも発表した。残っているのは連分数との関係であるが、これについても見通しは立っている。
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| 今後の研究の推進方策 |
研究計画における平成２７年度の目的と計画は「作用素単調関数の構築と応用」 であった。ガンマ関数の導関数の最大の零点をαとすれば、無限区間 (α, ∞）でガンマ関数は単調増加である。その逆関数を主逆関数と呼んだ。私はこの主逆関数が作用素単調であることを示したが，他の単調部分の逆関数が作用素単調であるか否かを調べることを目的としている。この研究を推進していくことはもちろんであるが、Kadison, Choiなどにより研究されてきた正値線形写像が代数的な同形写像になる（積を保存する）条件を作用素関数の面から調べてみることを新たな目的として加えたい。適切な国際学会、国内の学会、数理解析研究所における研究集会などに参加し成果の発表をする。
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