無限次元タイヒミュラー空間の幾何構造の構築

2017 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 25400127
• 研究機関: 千葉大学
• 研究代表者: 藤川 英華 千葉大学, 大学院理学研究院, 准教授 (80433788)
• 研究期間 (年度): 2013-04-01 – 2019-03-31
• キーワード: 複素解析学 / リーマン面 / タイヒミュラー空間 / 擬等角写像 / モジュラー群 / 双曲幾何

研究実績の概要

これまでの研究では，無限型リーマン面に対する無限次元タイヒミュラー空間の幾何構造の構築に向けて，無限次元タイヒミュラー空間上に作用するタイヒミュラーモジュラー群の力学系の考察を行い，特に，タイヒミュラーモジュラー群それ自身や重要な部分群の不連続性を考察することにより，タイヒミュラーモジュラー群の部分群による新しいタイヒミュラー空間をいくつか提示してきた．特に，昨年度の研究では，谷口雅彦氏との共同研究で，リーマン面とその上の可算無限個の点集合の組みに対する擬等角変形空間を考案した．つまり，フラクタル構造と呼ばれる特定の点配置構造を導入し，フラクタル構造の変形空間として新しいタイヒミュラー空間の概念を導入した．今年度も引き続きフラクタル構造のタイヒミュラー空間の幾何学的構造の研究を行った．一定の条件下ではフラクタル構造のタイヒミュラー空間の幾何学的構造のみならず，その複素構造までが定式化できることがわかっていたが，必要な諸条件をできるだけ精密な形で確定させ，さらに構築されるべき基礎理論の適用範囲を正確に決定する作業を行った．この考察を応用することにより，古典的な多くの代表例に対しては詳細な解析を行うことができ，例えば有限生成クライン群とその固定点集合に対する擬等角変形空間およびタイヒミュラー空間に対する結果を得ることができるが，より一般に，できるだけ多様な複素力学系に対して統一的な理論を構築することを目標とし，特に，無限次元の場合にそれらの成果を敷衍できるかの検証を行っているところである．

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

目標としている研究の主要な部分について，その方向性が明らかになった．また問題点と今後の課題も具体的に明らかになっている．

今後の研究の推進方策

これまでに得られた成果を講演により公表することで，新しい視点を議論したい．また研究連絡やセミナーでの講演を行い，関連する研究者と意見交換をする．

次年度使用額が生じた理由

次年度使用額が生じた理由：都合により，当初予定していた出張を行わなかったため．
使用計画：研究集会およびセミナーに出席して成果を公表する．また関連する研究者との研究連絡を行う．