| 研究実績の概要 |
(1) ３次元Euclid 空間上で関数空間 QA を考える. 関数空間 QA において球面調和関数展開のオーダー1/2のチェザロ平均が概収束することが証明された. さらに, 類似の結果が２次元以上のEuclid 空間上の多重周期関数のクリティカルオーダーのBochner-Riesz平均に対しても証明された. これらの結果はActa Sci. Math. (Szeged) 80 (2014), 129-139 に出版された.
(2) Heisenberg 群を含むhomogeneous 群上である種の特異積分作用素と最大特異積分作用素を考えて, それらの作用素の 荷重Lp 空間上での有界性が示された. ここで, 特異積分作用素には滑らかさの正則性が仮定されていなく, サイズに関する最小の仮定と cancellation に関する仮定が置かれているのみである.これらの結果は国際的な専門雑誌に出版されることが決定している.
(3) 直積 homogeneous 群上のある種の多重パラメータ最大特異積分作用素に対してLp 空間上での有界性が示された. ここで, (2) と同様に, 特異積分作用素には滑らかさの正則性が仮定されていなく, サイズに関する最小の仮定と cancellation に関する仮定が置かれているのみである. これらの結果がStudia Math. 222(2014), 41-49 に出版された.
(4) 一般のhomogeneous 群上の ある種のMarcinkiewicz 積分に対してLp 空間上での有界性が示された. ここで, 特異積分作用素には滑らかさの正則性が仮定されていなく, サイズに関する最小の仮定と相殺性に関する仮定が置かれているのみである.これらの結果は国際的な専門雑誌に出版されることが決定している.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
特異積分作用素の研究は北京師範大学の Y. Ding 氏との共同研究により
直積 homogeneous 群上の多重パラメータ特異積分作用素とhomogeneous 群上の
Marcinkiewicz 積分に関してよい結果が得られている．さらに Marcinkiewicz 積分と
Sobolev 空間, Potential 理論との興味ある関係が示されつつある. しかし,
滑らかさの正則性のない非斉次核から定義される Calderón-Zygmund 型(パラボリック)特異積分作用素の 弱 (1,1) 有界性及びこのような特異積分核から定義される F.Ricci-E.M.Stein 型の(多項式相関数の振動因子を持つ)振動特異積分作用素に対する弱 (1,1) 有界性を示すことに対してははまだ研究が進んでいない.
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| 今後の研究の推進方策 |
球面平均作用素(spherical mean)とクリティカルオーダーの Bochner-Riesz 平均のある種の類似性が知られている. M. Christ は球面平均作用素から定義される間隙最大関数(lacunary maximal function) がHardy空間 H1 から weak L1空間への有界な作用素を定義することを示した．しかし，M. Christはこの論文において詳しい証明を与えていない．この結果はクリティカルオーダーのBochner-Riesz平均の間隙概収束・発散問題と深く関係していると思われる．そこで, 球面平均作用素に対するこの結果に独自の証明を与えたい．これにより，クリティカルオーダーのBochner-Riesz 平均に対する理解も深まると予想される, 研究課題のひとつであるn 次元 Euclid 空間においてクリティカルオーダー (n-1)/2 に対する Bochner-Riesz 平均が間隙概発散する可積分関数の存在を示すことにもつながることを期待したい．また, F.Ricci-E.M.Stein 型の(多項式相関数の振動因子を持つ)振動特異積分作用素に対する弱 (1,1) 有界性を示すために, 2次元の場合に集中して研究を行いたい. さらに, Marcinkiewicz 積分とSobolev 空間, Potential 理論との関係についても研究を深めて行きたい.
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