| 研究課題/領域番号 |
25400132
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 研究機関 | 金沢大学 |
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研究代表者 |
小原 功任 金沢大学, 数物科学系, 准教授 (00313635)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | 複素解析 / 超幾何関数 / 数式処理 |
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| 研究概要 |
本課題の研究目的は、多変数超幾何関数について、新しい関数等式を導出することである。具体的には、多変数超幾何関数の局所的性質(微分方程式・差分方程式) を利用して、関数等式の組織的探索を行うことである。また関数等式の一種であるパラメータつき変換公式について、どのような場合に変換公式が存在するのか、理論的に解明していく。これらの探索は数式処理システム上に専用のソフトウェアを実装することで行う。さらに先の目標は、より一般の多変数超幾何関数の新しい公式の発見である。より一般の多変数超幾何関数やホロノミック関数についてもアペル・ロリチェラと同様の公式が成立することが期待でき、それらを系統的に理解していくのも長期的な目標である。
今年度は、数式処理システム Risa/Asir 上において探索用のプログラムを作成した。このプログラムは、与えられた自由変数をパラメータに線形に含む超幾何微分差分方程式の組について、(1)そのグレブナー基底と差分パッフィアン方程式を導出する、(2)差分パッフィアンの比較から自由変数を消去し、多項式イデアルをみつける、(3)多項式イデアルの準素イデアル分解を通して、変換公式と同値な代数多様体を得る、という手順を自動的に実行するものである。
現在、知られているアペル２変数超幾何関数のパラメータつき変換公式については、この手順で同値な代数曲面を得ることができることが確認できる。またガウス超幾何関数については、空間代数曲線が得られるのであるが、有理変換公式が存在する場合には自然に平面有理曲線に帰着させることができ、有理曲線のパラメータ付けを通して有理変換公式そのものを得ることができることを示した。また、この結果については研究集会で発表を行った。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究の目的は、組織的探索により超幾何関数の関数等式の発見とその性質を明らかにすることであるが、今年度までの研究において、パラメータつき変換公式と同値な代数多様体を自動的に導出するためのプログラムを作成するなどしており、またガウス超幾何関数については、存在する場合は変換公式まで導出できるなどといった結果を得ており、研究がおおむね順調に進展していると判断できる。
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| 今後の研究の推進方策 |
本研究の目的は、組織的探索により超幾何関数の関数等式の発見とその性質を明らかにすることであるが、今年度までの研究において、差分的手法により関数等式と同値な代数多様体を導出する方法を確立するなどの結果が得られている。また、そのための計算機プログラムも完成し、今後はプログラムの高速化・効率化など、組織的に探索するために重要な改良をすすめる予定である。また数学的にはそれらの代数多様体のもつ本質的意味などを追求していくことも重要である。
さらに本研究課題を遂行する中で開発された数式処理プログラムや並列化手法の応用として、計算代数統計における最尤推定問題（多変数超幾何関数が現れる）への応用や、有限次元線形作用素のスペクトル分解のための関数論的アルゴリズムの開発・プログラムの実装など、応用が広がっているので、その方向についても研究していく予定である。
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| 次年度の研究費の使用計画 |
次年度前半に行われる国際会議で研究成果を発表するために外国出張したい。そのための講演申し込みを今年度後半に行った。次年度の研究計画に必要な費用を確保し、研究を円滑に実施するためには、外国出張に必要な費用は今年度分から支出することにしたい。したがって研究計画全体を考慮して、次年度使用することにした。
次年度使用額は、現在、講演申し込み中の国際会議で研究成果を発表するための外国旅費にあてる。また残額が生じた場合、次年度分の国内旅費の一部にあてる予定である。
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