| 研究課題/領域番号 |
25400146
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 研究機関 | 日本大学 |
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研究代表者 |
永井 敦 日本大学, 生産工学部, 教授 (90304039)
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| 研究分担者 |
亀高 惟倫 大阪大学, その他部局等, 名誉教授 (00047218)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | ソボレフ不等式 / 最良定数 / 境界値問題 / グリーン関数 / 離散化 |
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| 研究概要 |
本研究の主たる目的は、基礎科学の諸分野に登場する微分方程式、差分方程式の境界値問題のグリーン関数を求め、その再生核としての性質を調べることによって，ソボレフ不等式または離散ソボレフ不等式を導出すること．またグリーン関数の各種ノルムや対角線値を計算して，ソボレフ不等式の最良定数および最良関数（不等式において等号を達成する関数）を具体的に計算すること、以上2点である．これまでに得られた研究実績は主に以下の2点である。
(1) 連続版トムソンケーブルと関連するソボレフ型不等式の最良定数
連続版トムソンケーブルモデルにおいて、出力電圧の最大値を入力電圧のL2ノルムで評価する新たな不等式を導出し、その最良定数を各種回路定数の有理関数として具体的に表記を求めた。拝見には熱方程式の初期値問題があり、そのグリーン関数（ｎ次修正ベッセル関数で表される）が最良定数計算において重要な役割を果たす。本研究成果は1編の論文として発表した。
(2) 離散化された糸のたわみ問題と離散ソボレフ不等式の最良定数
糸のたわみ問題を記述する2階差分方程式の各種境界値問題を考え、その離散化されたグリーン関数（グリーン行列）を計算した。次に得られたグリーン行列の応用として離散ソボレフ不等式の最良定数を求めた。最良定数はチェビシェフ多項式を用いて表される。副産物としてチェビシェフ多項式（三角関数）についての非自明で興味深い恒等式を得た。本研究成果は数学会年会（学習院大学）で発表し，1編の論文として現在投稿中である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
連続版および離散版のソボレフ不等式について、工学における各種境界値問題を起点にして数学的にも工学的にも興味深い研究成果が得られている。
(1)「連続版トムソンケーブルと関連するソボレフ型不等式の最良定数」から電気回路における出力電圧の評価式を得るなど工学への応用という点で興味深い結論が得られた。
(2)「離散化された糸のたわみ問題と離散ソボレフ不等式の最良定数」に関する研究についても工学的応用はもちろんであるが、副産物として、ソボレフ不等式の最良定数を達成する条件から、チェビシェフ多項式などの特殊関数の満たす今までに知られていなかった等式も得ることに成功した。
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| 今後の研究の推進方策 |
本研究の大きな目標の一つが各種多面体における離散ソボレフ不等式の導出と最良定数の計算である。特にC60フラーレンを最終目標とする切頂正４，６，８，１２，２０面体における離散ソボレフ不等式の最良定数を計算する．特にC60フラーレンに関してはその亜種が知られており、それらの最良定数も同時に計算する．ソボレフ不等式の最良定数は各種多面体の「堅さ」を表していることが予想され、C60フラーレンが最も堅いことをソボレフ不等式の立場から証明することによって、工学や化学の分野における数学的基盤を与えたい．
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| 次年度の研究費の使用計画 |
2013年9月に愛媛大学での数学会で発表する予定であったが，都合により2014年度3月に学習院大学での数学会で発表したことなどにより当初の研究計画より旅費が若干減少した。
今年度は切頂多面体をはじめとする各種多面体上の離散ソボレフ不等式の最良定数計算に本格的に着手する。得られた研究成果は適切な論文誌に投稿予定であり、また研究分担者の亀高惟倫氏はSt.Petersburg のSteklov 研究所で開催される逆問題のシンポジウム（8月16日～22日）において離散ソボレフ不等式の最良定数についての講演を行う予定である。
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