| 研究課題/領域番号 |
25400146
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| 研究機関 | 日本大学 |
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研究代表者 |
永井 敦 日本大学, 生産工学部, 教授 (90304039)
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| 研究分担者 |
亀高 惟倫 大阪大学, その他部局等, 名誉教授 (00047218)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | 離散ソボレフ不等式 / 最良定数 / グリーン行列 / 多面体 / 離散ラプラシアン |
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| 研究実績の概要 |
本研究課題はソボレフ不等式の最良定数を具体的に求めて，その理工学への応用を目的とするものである。具体的には基礎科学および工学の諸分野に登場する微分方程式および差分方程式の境界値問題を設定し，そのグリーン関数（グリーン行列）を求める．次にグリーン関数（行列）の再生核としての構造を調べて，再生等式を導出する．次に再生等式からソボレフ不等式を導出する．最後にグリーン関数（行列）の各種ノルムや対角線値などを調べることによって，ソボレフ不等式の等号成立条件，言い換えると最良定数および最良関数（ベクトル）を求める．
2015年度は主に切頂多面体の離散ソボレフ不等式に着目した．各種切頂多面体の離散ラプラシアンを設定し，そのグリーン行列または擬グリーン行列を求めた．（擬）グリーン行列を起点として離散ソボレフ不等式を導出し，その最良定数を求めた．切頂多面体の各頂点に原子，各辺に古典バネが配置されているとすると，離散ソボレフ不等式は原子の平衡点からの撓みの最大値をポテンシャルエネルギーの定数倍で評価する不等式である．また最良定数が小さいほど多面体が撓みにくいことを表しており，最良定数は物質の「かたさ」を表す１つの指標である．
はじめに，切頂４，６，８面体についてそれぞれ離散ソボレフ不等式を導出し，その最良定数を求めた．本研究業績は１編の論文として日本応用数理学会論文誌に発表した．
次に化学や工学の分野で注目を集めているC60バッキ－ボール・フラーレン，つまり切頂２０面体についても，離散ソボレフ不等式を導出し最良定数を求めることで，物体のかたさに関する１指標を与えた．本研究業績は１編の論文としてJournal of Physical Society of Japanに発表した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
ソボレフ不等式は２０世紀の偏微分方程式論の発展において重要な役割を果たしてきたが，その厳密な評価については未解決な問題を多く含んでいる．本研究は各種微分方程式の境界値問題を設定し，そのグリーン関数を求め，詳細に調べることで，ソボレフ不等式の厳密な評価を与えるものであり，数学的に興味深い結果と思われる．
本研究は数学のみならず理工学の諸分野への応用を目指している．１０年程度前から，ソボレフ不等式の離散化と不等式の最良評価を考えることによって，数理工学への応用を試みてきた．２０１５年度の切頂多面体に関する結果は新たな工学的応用が期待される．特に正２０面体，つまりC６０バッキ－ボール・フラーレンに関する離散ソボレフ不等式の最良評価は不等式の工学的および化学的意味づけを与えるものである．言い換えると，離散ソボレフ不等式の最良定数は物質の「かたさ」を表すものであり，工学や化学の分野における貢献が期待できる．
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| 今後の研究の推進方策 |
C60バッキ－ボール・フラーレンにはさまざまな異性体が存在することが知られている．それらについても(1)離散ラプラシアンを適切に設定，(2)グリーン行列または擬グリーン行列を計算，(3)再生核ヒルベルト空間の設定と再生等式の導出，(4)再生等式から離散ソボレフ不等式の導出，(5)（擬）グリーン行列を調べることによる不等式の最良定数と最良関数の計算，という流れで数式処理を援用しながら研究を進めていきたい．またC60のみならず60個以上の頂点をもつ多面体，そしてこちらも工学や化学の分野で注目を集めているカーボンナノチューブなどについても同様の計算を遂行する．
離散化と同時に，連続のソボレフ不等式についても超幾何関数やチェビシェフ多項式，ベルヌーイ多項式など各種特殊関数との関連において興味深い結果が確認されてきた．特殊関数のソボレフ不等式のいう観点からの応用についても並行して進める．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
研究発表で海外出張の予定だったが，キャンセルになったため．
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| 次年度使用額の使用計画 |
離散ソボレフ不等式の最良定数について，国内および海外の学会および研究集会に出席して，発表を行う予定である．
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