| 研究課題/領域番号 |
25400146
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| 研究機関 | 津田塾大学 |
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研究代表者 |
永井 敦 津田塾大学, 学芸学部, 教授 (90304039)
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| 研究分担者 |
亀高 惟倫 大阪大学, その他部局等, 名誉教授 (00047218)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | ソボレフ不等式 / 離散化 / グリーン行列 / 一般化逆行列 |
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| 研究実績の概要 |
離散ソボレフ不等式の研究をより深化させた。
完全グラフ上の離散ソボレフ不等式に関する山岸，亀高，渡邊による論文The Best Constant of Three Kinds of the Discrete Sobolev Inequalities on the Complete Graph（Kodai Journal of Mathematics 2014 巻 37 号）の１つの拡張を考えた．重み付き完全グラフ上の離散熱核および離散ラプラシアンを定義し，その固有値および固有ベクトルを求めた．続いて離散熱核行列の逆行列であるグリーン行列を求めた．一方，離散ラプラシアン行列は固有値ゼロをもつため，逆行列の代わりにペンローズムーア一般化逆行列（擬グリーン行列）を求めた．次にヒルベルト空間を適切に設定すると，グリーン行列および擬グリーン行列はヒルベルト空間の再生核であり，再生等式から離散ソボレフ不等式を導出した．また離散ソボレフ不等式の最良定数C(n;a) および C(n) はそれぞれグリーン行列と擬グリーン行列の対角線値であり，両者は適当な極限で移りあうことが確認された．さらに行列のサイズ n について，離散熱核から導出される離散ソボレフ不等式の最良定数 C(n;a) は興味深い階層構造 C(n+1;a)< C(n;a) を満たす．さらに離散ラプラシアンから導出される最良定数 C(n)は逆の階層構造 C(n) < C(n+1) を満たすことが明らかになった。
本研究成果は日本大学理工学部の武村一雄准教授および研究分担者である亀高惟倫教授との共同研究によるものであり，1編の論文A Hierarchical Structure for the Sharp Constants of Discrete Sobolev Inequalities on a Weighted Complete Graphとして，雑誌 Symmetry 2018巻10号に掲載された．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
研究代表者の永井が2017年4月に日本大学生産工学部教養・基礎科学系から津田塾大学学芸学部情報科学科に異動した。研究室の引っ越しに伴う，2017年1～3月は日本大学での諸業務の整理，4～5月は津田塾大学における計算機環境をはじめとする研究環境の再整備などによって研究課題の進捗に若干の遅れが発生した．
一方で組合せ論の研究者との議論によって，離散ラプラシアン行列や対応する離散ソボレフ不等式の組合せ論的側面について新しい知見が得られた．
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| 今後の研究の推進方策 |
これまでの離散ソボレフ不等式の研究は正多面体や切頂正多面体上に関する不等式の最良評価が中心の課題であった。これらの多面体はプラトングラフと呼ばれるグラフ理論における基本的かつ重要なグラフの1つである。
今後はプラトングラフ以外にも基本的かつ工学上重要なグラフについて離散ラプラシアンや離散熱核を定義し，関連する離散ソボレフ不等式を導出する．さらに不等式の最良定数や最良ベクトル（等号成立条件）を近似計算または厳密な値を計算する．その中でも2部グラフ上の離散ソボレフ不等式を導出するとともに，完全2部グラフについては最良定数と最良ベクトルを厳密に計算することを目標とする。また離散化された材料力学モデルと離散ソボレフ不等式との関連を調べて，最良定数の基礎工学の分野において果たしうる役割について詳細に調べる．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
2017年3月の応用数理学会研究部会連合発表会出張（電気通信大学）および2018年3月の同発表会出張（大阪大学）をはじめ，いくつかの学会や研究集会を諸事情により取りやめたこと，また2017年度の大学異動による研究進捗の若干の遅れが原因である．
使用計画としては数学会や応用数理学会などの学会や各種研究集会への参加や成果発表，亀高惟倫大阪大学名誉教授らとの研究打合せのための旅費や大学における計算機環境の整備に使用する予定である．
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