| 研究課題/領域番号 |
25400147
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 研究機関 | 愛知工業大学 |
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研究代表者 |
中村 豪 愛知工業大学, 工学部, 准教授 (50319208)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| キーワード | 複素解析 / リーマン面 / クライン面 / 極値的円板 / 自己同型群 |
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| 研究概要 |
コンパクトリーマン面は種数に依存する最大半径の円板を等長的に埋め込むことができるとき極値的と呼ぶ。種数が2の極値的リーマン面の特徴付けを与えるための手段として、周期行列を考察した。これらのリーマン面の自己同型群は既知であり、その標準ホモロジー基底への作用を調べることにより周期行列の型を絞り込むことができた。
コンパクトリーマン面は位数2の反自己等角写像を持つとき対称的という。9種類のリーマン面のうちの１つに対して、その反自己等角写像は4つ存在することが判明した。このとき、それらによる商空間の型を得ることができた。例として、3個の叉帽をもつコンパクト曲面などがある。
種数2の極値的リーマン面のうち対称的なもので、その反自己等角写像による商空間が境界成分を1つもちかつ種数が1のリーマン面となるものを考察した。この商リーマン面に標準的なホモロジー基底を与えることにより、標識付きの商リーマン面を考える。これを埋め込むことのできる標識付きトーラスの集合全体を決定するためには3つの値が必要であるが、この値の下からの評価を得ることができた。
種数2の極値的リーマン面に対応するフックス群の表現として、9個の生成元とそれらのなす6個の関係式が存在する。これはフックス群の基本領域が正18角形になることから導かれる。9種類のリーマン面のうちの1つに対して、そのフックス群の表現のうち標準的なもの、すなわち4個の生成元とそれらのなす1個の関係式を求めることができた。ここで重要なのは基本領域を変形することであるが、それにはコンピュータを用いている。この標準的な生成元によりリーマン面に標識を与えて、タイヒミュラー空間の元とみなすとき、タイヒミュラー空間のある大域的座標系を用いて、その座標を正確に計算することができた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
種数が2の極値的リーマン面は等角同値を除いて9種類存在する。今年度はこのうちの1つに限定して研究を進めている。ここで用いた手法はその他の8種類のリーマン面にも適用できると思われるので、種数2のときの対称的な極値的リーマン面の解析はおおむね順調に進んでいると言える。研究全体においてみてもおおむね順調と言える。具体的には次のとおりである。１．種数2の極値的リーマン面を与えるフックス群に対してその標準的な生成元（4個の生成元とそれらの間の1個の関係式）を構成する手段の確立ができた。２．リーマン面の対称性の構造を調べるために、反自己同型写像を求め、それによる商空間を具体的に構成することができた。反自己等角写像はリーマン面に対応するフックス群の基本領域がどのような辺の貼り合わせになっているかを調べることにより求めている。この辺の貼り合わせの仕方は既に得られているので、この方法は他のリーマン面にも適用できると思われる。３．種数2の極値的リーマン面のタイヒミュラー空間における分布を調べるために、既に得られている大域的座標系を用いて１つの極値的リーマン面の座標を具体的に計算することができた。計算量は多いがこの手法も応用できると思われる。４．dessin d’enfantとBelyi関数の構成にはまだ着手していないが、これを実現するために様々な文献にあたり知識を増やしている。基本領域である正18角形の辺から定まる閉グラフをもとにして標準的とみなせるものが得られると思われる。５．種数が3のときの極値的リーマン面の同種の解析及び種数が3から6までの向き付けが不可能な曲面であるクライン面の解析に対しては次年度以降に研究を進める。
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| 今後の研究の推進方策 |
次年度以降では種数2の極値的リーマン面の解析を引き続き行う。種数3の研究についても同時に展開していく予定である。種数3の場合は取り扱う対象が多いため、コンピュータによる計算が更に重要になってくる。そのためにノートパソコンを１台購入する予定である。これによって多数のリーマン面を統一的に調べることが可能になり、研究成果を迅速に上げていけると思われる。種数が3から6までの極値的クライン面の解析ではさらに膨大な数の曲面が現れてくるので、プログラムを改良しつつ研究期間を通して継続的に調べ上げていく。極値的曲面のタイヒミュラー空間における分布についても研究対象が膨大なため、コンピュータを有効に活用して着実に成果を上げていく。そしてこれまで通りに、連携研究者と連絡を密接に取り合って研究を進める。このためにセミナーを開き研究打ち合わせを行う。また専門家が多く集うリーマン面関連の研究集会に参加をして意見を広く求めていく。この他にも近隣の大学ではポテンシャル論セミナーが活発に開かれている。これにも積極的に参加し、ポテンシャル論的観点からの助言を受ける。海外の研究者とはこれまでの共同研究の成果を踏まえて、今後もつながりを保ち、意見交換を行っていく。特にdessin d’enfantとBelyi関数を専門とするスペインの研究者からは、研究が計画通りに進まない場合などにおいて様々な示唆や解決の手がかりを教授してもらう。直接面会して議論することはこれまでの成果から見ても大変意義があると思われる。このために海外旅費を用いて研究打ち合わせ及び成果発表を行う。また、関連する論文や専門書にあたることが研究には不可欠なので、随時購入をして研究に深みをもたせたい。
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| 次年度の研究費の使用計画 |
次年度使用額として12,736円が生じている。これは通常業務を優先するために、国内出張の日程を1日減らしたことが影響している。次年度の研究経費と比較すれば少額であり、また研究の進展具合にも問題はないため、次年度の使用計画に大きな変更はない。
次年度以降は種数2の極値的リーマン面に続き種数3の場合の解析をする。この際取り扱う対象が多いためノートパソコンを１台購入する。種数が3から6までの極値的クライン面ではさらに膨大な数の曲面が現れるので、プログラムを改良し研究期間を通して継続的に調べ上げる。タイヒミュラー空間における分布についてもコンピュータを有効に活用する。また、連携研究者と連絡を密接に取り合い、セミナーを開き研究打ち合わせを行う。リーマン面関連の研究集会に参加して意見を求める。近隣の大学のポテンシャル論セミナーにも参加して助言を受ける。海外の研究者とはこれまでの共同研究の成果を踏まえて意見交換を行っていく。特にスペインの研究者からは、研究が計画通りに進まない場合などにおいて様々な示唆と手がかりを教授してもらう。海外旅費により研究打ち合わせ及び成果発表を行う。また、関連する論文や専門書を随時購入して研究に深みをもたせる。
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