| 研究課題/領域番号 |
25400156
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| 研究機関 | 埼玉大学 |
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研究代表者 |
長澤 壯之 埼玉大学, 理工学研究科, 教授 (70202223)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | メビウス・エネルギー / 分解定理 / メビウス不変性 / 変分公式 |
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| 研究実績の概要 |
与えられた関数を平均曲率に持つ一般化された回転超曲面の大域的存在について、タイプIとIIに関する論文を投稿済みであったが、今年度中に受理され、印刷中である。タイプIII-Vを含む場合に関する論文を投稿中である。
昨年度に引き続き、結び目のエネルギーの一つであるメビウス・エネルギーを考察した。このエネルギーは、メビウス変換によってエネルギーを変えない事から、そのように呼ばれる。特にスケール変換で不変なため、勾配流は爆発解を起こし得る。昨年度は、メビウス・エネルギーがメビウス不変な3つの部分に分解されることを示した。その分解により、変分公式の導出が容易になり、様々な関数空間上での評価が可能になった。これらの結果は、それらを今年度になってから2つの論文としてまとめた。そのうち1編が本研究課題に関するもので平成26年度内に受理された。
メビウス・エネルギーの定義域は、ある分数階ソボレフ空間である事が知られている。上の論文では、一つの例外を除き、その分数階ソボレフ空間で行なわれている。唯一の例外は、結び目上に中心をもつ球面に関する反転に関する分解されたエネルギーの不変性の議論である。今年度は、曲率が有界である結び目に対しては不変性を有する事が示された。論文を準備中である。
また、形式的な部分積分により、第一変分公式は、分数冪ラプラシアンを主部にもつ擬微分作用素になる。これは、主値積分の形であれば示されていた。本研究では、これを分解定理を用いて、ルベーグ積分による意味を与えた。これについても論文準備中である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
結び目のエネルギーの一つであるメビウス・エネルギーは、結び目型が素であれば最小元の存在が知られている。結び目型が合成であるときは、最小元は存在しないと予想されている(カズナー・サリバン予想)。この予想が正しいならば、合成結び目を初期値とする勾配流は何らかの特異挙動を示すはずである。予想される特異挙動は、有限時間内プルタイトである。この解析には、変分公式を低階項まで陽に求めておく必要がある。従来は、主要部が主値積分によって分数冪ラプラシアンで表される事が知られていた。本研究によより、低階項まですべて陽に求められ、様々な関数空間における評価も得られるようになった。勾配流の漸近解析に必要な情報が得られた。
今年度に受理された査読付き論文は1編であるが、他に印刷中査読付き論文1編、投稿中論文1篇、投稿準備中論文2編がある。また、査読なし論文1編が印刷中である。研究発表は、日本数学会における発表を含め、10回である。他に、他の科研費課題(基盤研究(A)の分担者)によりメビウス・エネルギーに関連する論文が1編出版された。これは、本研究課題とも関連するものである。
以上の事から、研究はおおむね順調に進展していると評価する。
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| 今後の研究の推進方策 |
メビウス・エネルギーに対するカズナー・サリバン予想は、数値実験などの状況証拠により、多くの数学者により正しいと考えられている。しかし、いまだに未解決の問題である。本研究は勾配流の特異挙動の有無を解析することで、カズナー・サリバン予想が正しいことの状況証拠を与えたい。今年度、ドイツのメビウス・エネルギーの研究者数名と議論する機会を設けた。今後、彼らと共同研究を進めていく事にした。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
今年度、メビウス・エネルギーを研究しているドイツ人研究者(複数)と議論する機会があり、今後共同研究をしていくことで合意した。平成27年度に複数回の招へいまたは訪問をしたいため、平成26年度に研究には研究に支障が出ない程度に経費を切り詰め、その分を27年度に回す事にした。
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| 次年度使用額の使用計画 |
上記のドイツ人研究者は、現所属はザルツブルク大学(オーストリア)とバーゼル工科大学(スイス)である。平成27年8月末から9月初頭にかけて、両地を訪問する予定であり、先方と調整中である。平成27年度に繰り越した助成金を、この海外渡航費の一部に充てる予定である。
また、これとは別に、当初より予定していた海外渡航として、5月末にイタリアで開催される研究集会に参加する。
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