| 研究課題/領域番号 |
25400160
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
森本 芳則 京都大学, 人間・環境学研究科(研究院), 教授 (30115646)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | ボルツマン方程式 / 衝突積分項 / 非切断近似 / 平滑効果 / 時間局所解 / 大域解 / 漸近安定性 / 測度解 |
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| 研究概要 |
切断近似をしないボルツマン方程式と，関連するランダウ方程式，Kac 方程式，フォッカー・プランク方程式などの運動学方程式の初期値問題を考察した．
空間非一様な切断近似をしないボルツマン方程式についてソフトポテンシャルの場合は，速度変数についてマクスウェル関数の減少オーダーの仮定をおかなくても，解の一意性が得られることが代表者等の研究で知られていたが，解の存在については未知であった．粒子の衝突前後の速度変数変換について特異性をもつものまで駆使することにより，時間局所解の存在を広範な初期値に対して示すことに成功した．実際，初期値は適当な階数までの導関数が速度変数については多項式オーダーの減衰を，空間変数については一様な局所可積分性をみたせば，時間局所（古典）解の存在が明らかになった（発表論文[2]）.
また，分数べきの微分作用素に関する関数積のLeibniz公式の理論を用いて，これまでに代表者等によって得られた，空間非一様なボルツマン方程式の局所解の存在定理における，初期値の解空間の微分階数の設定がより制約の少ないように改良することができた（発表論文[1]）．
空間一様な切断近似をしないボルツマン方程式について，マクスウェル型と呼ばれる衝突積分核が粒子の相対速度によらない単純な場合には，初期値が1点のみのDirac 測度以外であれば，弱解の範囲を測度解に広げても必ず平滑効果が起こることが代表者らの研究で明らかになっていた．しかしながら，初期値のエネルギーが有限な場合を除いて平滑効果が時間に対して安定であるか未解決であった．エネルギ－（分散）有限より弱いモーメント条件をみたす確率測度に対して，Toscani距離と異なる補完的な距離を導入することにより，この平滑効果が時間無限大まで安定であることが示された（発表[5]）．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
空間非一様なボルツマン方程式の古典解の存在定理は従来，速度変数に関してマクスウェル関数の減少オーダーを仮定したものがほとんどであり，切断近似をした場合でも，空間変数に関する勾配が小さい初期値を扱った，Arkeryd-Esposito-Pulvirenti ’87の結果など僅かである．上記の研究実績で述べた，多項式オーダー減衰の枠内で得られた局所解は，切断近似をした場合に限っても新しい結果である．また，空間一様なボルツマン方程式に対する測度解の平滑効果は，Bobylev-Cercignani ’02 が構成した自己相似解（測度解）が無限回微分可能であることを示し，彼らの予想「自己相似測度解は関数か」を解決している（参照，Cannone-Karch '13, Kinetic and Related Models, Vol. 6, p. 804)．自己相似解はエネルギーが無限大であり，その漸近安定性を議論する上で，上記の補間的な距離の導入は重要である．
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| 今後の研究の推進方策 |
前年度で得られた時間局所解の大域存在について考察する．切断近似をした場合の結果であるArkeryd-Esposito-Pulvirenti ’87 では，大域解の存在はボルツマン方程式の定常解であるマクスウェル関数の漸近安定性の問題に帰着されているので，今後，大域存在が知られている種々な解に対する漸近安定性の研究が重要と思われる．研究計画を遂行するため、現在まで共同研究を行ってきた，N. Lerner, C.-J. Xu, K. Pravda-Starov, R.Alexandre（海外共同研究者：在仏），T.Yang （海外共同研究者：在香港）諸氏との研究を継続するため，海外共同研究者を1～2 週間程度京都大学に招へいし集中的に討論を行うと共に，代表者は講義休講期間を利用して香港城市大学，Rouen 大学で各１週間程度の共同研究を行う. また，国内外の研究者を招へいし，最新の研究動向について検討を行う．更に国内外の研究集会で得られた結果を発表することにより，新たな共同研究の可能性を模索する．
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