| 研究概要 |
本研究の目的は，非線形性が非常に強く，解析するための道具が少ないために取り扱いが困難である完全非線形楕円型・放物型偏微分方程式に対し，その境界値問題の可解性や解の挙動についての考察，および特異性の解析を行うことである。平成25年度に行った研究は下記の通りである。
(1) k次基本対称関数（k=1,…,n，ここでnは空間次元）により定まる曲率方程式（以下，k-曲率方程式と呼ぶ）について研究を行った。与えられた領域の境界に近づくとき解が正の無限大に発散するという境界条件（境界爆発条件）を課したk-曲率方程式について，粘性解のクラスにおける解の存在・非存在，および境界付近における解の挙動，さらに解の一意性に関して既に結果を得ていたが，今年度も引き続きそれらの研究を継続して行った。
(2) ある条件を満たす一般の完全非線形楕円型・放物型方程式の粘性解において，1つの等高面は常に除去可能であるという結果を既に得ているが，この定理の拡張について考察した。得られた研究結果をまとめた論文は投稿準備中である。
(3) 極小曲面に関してBernsteinは「R^2全体で定義された関数z=f(x,y)が極小曲面方程式を満たすならば，fはx,yに関する1次式である」という定理を証明した。我々はBernsteinの定理の類似物が，ある種の完全非線形偏微分方程式に対しても成立するかどうかを考察した。
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