| 研究課題/領域番号 |
25400170
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 研究機関 | 広島大学 |
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研究代表者 |
川下 美潮 広島大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (80214633)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | レゾルベント / 境界値逆問題 / 囲い込み法 / 漸近展開 / ポテンシャル論 |
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| 研究概要 |
熱方程式の境界値逆問題についての考察では「指示関数」と呼ばれる関数の漸近挙動の解析から空洞や介在物の情報を引き出すことになる。そのためにレゾルベントの漸近挙動が必要になるというのが本研究の基本的な考え方である。具体的にはレゾルベントの漸近挙動を調べることを通じて、どのようにして空洞や介在物の情報を引き出せるかについて調べるのが目標である。当該年度の研究では「一回観測(II)の考察の過程で現れたレゾルベントの漸近挙動についての考察」について調べることを目標にした。ここで「一回観測(II)」とは指示関数を三次元の全領域におけるレゾルベントを表す微分方程式の基本解を使って定めるという考え方に従った定式化のことを指す。「一回観測(II)」についてはこれまでの研究で空洞が狭い意味で凸のときに限定すれば境界値逆問題についての知見を得るために必要となるレゾルベントの漸近解析を抽出することについてはほぼ終わっていると考えられる。次はレゾルベントの漸近解析をどのように行うかについて考えることが大きな目標である。当該年度で行ったことはこの点についての問題の整理と予備的な考察である。その結果、空洞が狭い意味で凸のときは何をすればよいかが分かり、現在とりまとめを行っている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
当該年度に予想していた研究目標はほぼ達成されたと考えている。まずは、レゾルベントを漸近展開するためにレゾルベントの構成が必要であるが、ポテンシャル論を用いてそれが概ね出来た。さらに漸近展開するためには誤差項の処理を行うために、誤差項と主要項を分けないといけないが、積分方程式を解く際の方程式の形を見ながら、Neumann級数を適宜用いることにより主要項をうまく取り出すことが出来た。次に主要項を改めて漸近展開するためにLaplaceの方法を適用するが、それが出来るためには位相関数に対する条件が必要になる。その条件を境界の曲率に関係した量で現すことができることがわかった。これらを合わせると、空洞が狭い意味で凸のときは「一回観測（II）」のときにもこのときの問題設定に対する最短の距離が現れることになる。この結果を得る過程で、なぜそうなるのかが明快になったと思われる。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後の研究の方向としては「空洞に対する一回観測(II)についてのより詳しい解析の実行」である。例えばこれまでの仮定である「空洞が狭い意味で凸である」という仮定を除くとどうなるかが問題となる。空洞が一つであってもへこんでいる場合は主要項となる場所が多数あり、漸近展開自体ができるかどうかも分からない点がある。また、できたとしても主要項と思われるところがキャンセルしてしまう可能性もあり、問題は思ったより複雑になっていることが予想される。そこで、狭い意味で凸な空洞が複数空いているときはどうなるかについて考えてみるのが第一歩ではと思っている。この場合は予想としてはこれまでと同じで、最短の長さが出てくると思われるが、それを実際にどのようにして示せばよいかについてはまだ未知の部分で今後の研究進展のための大きなステップになると思っている。その他にも長期的な問題として「空洞と介在物が入り混じった場合の境界値逆問題についての考察」についてもどう扱えばよいのかを考えてみたい。この場合は内部の介在物の扱いを変える必要があり、レゾルベントの構成法から考える必要がある。それだけに問題としては面白いと思っている。
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| 次年度の研究費の使用計画 |
ほぼ計画通りに使用したが最終的に6,912円が残ってしまいました。なんとか理由を付けて消化することを考えるより、次年度に持ち越した方が良いと判断いたしました。従って使い切れなかった6,912円は残し、平成26年度に繰り越しました。
金額が6,912円なので、今年度の計画を大きく変更する必要はないと考えています。
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