| 研究実績の概要 |
圧縮性 Navier-Stokes 方程式の定数平衡状態の安定性の研究で示唆されていることは，解の拡散波動の現象と広い意味での Huygens の原理を明らかにすることである．そのために，解の第一近似として現れる線形粘性弾性体方程式および非圧縮性 Stokes 方程式、Navier-Stokes 方程式, を中心に，解の時間に関する漸近挙動について研究を行った．半空間における非圧縮性 Navier-Stokes 方程式の初期値境界値問題を考察し，解のプロファイルを明瞭にする関数空間として，空間に関して水平方向と垂直方向に重みが付ついた Lp 空間を考え，その空間上で Stokes 半群のLp-Lq 評価を鵜飼の公式を用いることで導き, 非圧縮性 Navier-Stokes 方程式の初期値境界値問題の解の重み付きLp 空間における時間に関する減衰評価を導いた．
非圧縮性 Navier-Stokes 方程式と非圧縮性双曲型 Navier-Stokes 方程式の初期値問題では，２次元の場合に，解の時空間における L2 有界性について考察した．解の時空間におけるL2 有界性は, 波動方程式, 消散項付き波動方程式, Navier-Stokes 方程式の研究において, エネルギー評価や局所エネルギー減衰評価を得る上で重要であり, 特に，斉次非圧縮性 Maxwell 流体の運動を記述した非圧縮性双曲型 Navier-Stokes 方程式の線形化方程式は消散項付波動方程式であるため，流体の波動現象を知る上でも重要である．全空間の熱方程式の初期値問題の場合， Sobolev の埋め込み定理が臨界のため, 初期値が L1 に属するだけでは，２次元では解の時空間における L2 有界性は一般に成り立たない．非圧縮性 Navier-Stokes 方程式と非圧縮性双曲型 Navier-Stokes 方程式の初期値問題の場合は，解はソレノイダルベクトル (divergence free) であるため，２次元熱方程式の場合と異なり， L2 有界性が成り立つことが考察できた．
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