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2015 年度 実施状況報告書

複数の場の相互作用を記述する非線形偏微分方程式の適切性と解の漸近挙動

研究課題

研究課題/領域番号 25400176
研究機関島根大学

研究代表者

和田 健志  島根大学, 総合理工学研究科(研究院), 教授 (70294139)

研究分担者 中村 誠  山形大学, 理学部, 教授 (70312634)
北 直泰  熊本大学, 自然科学研究科, 教授 (70336056)
研究期間 (年度) 2013-04-01 – 2017-03-31
キーワード非線形 Schrodinger 方程式 / 適切性 / Strichartz 評価
研究実績の概要

非線形 Schrodinger 方程式は波の非線形変調における包絡波や,誘電率が振幅に依存する電場など様々な物理現象を記述するために用いられる基礎方程式であり,その解析は数学的にも応用上も重要である.本年度は昨年度までの研究を踏まえて,非線形 Schrodinger 方程式の時間局所適切性について研究した.スケール不変性をもつ場合,方程式が適切となる空間は自然に決まると考えられているが,冪乗型非線形 Schrodinger 方程式の場合は非線形項の滑らかさも考慮する必要がある.非線形項の滑らかさが低い場合の時間局所適切性については,Y. Tsutsumi ('87) の仕事に始まる研究があり,特に分数次 Sobolev 空間の場合には Pecher ('97) の結果が知られていた.彼らの手法の要点は Schrodinger 方程式が空間変数に関しては2階,時間変数に関しては1階であることを利用し,空間変数に関する微分を時間変数の微分で代替することにより微分の回数を減らすことにある.Pecher の結果は非線形項が劣臨界の場合,最良であると考えられていたが,彼 の証明においては,非線形評価式の時間依存性の考察がされておらず,証明に大きなギャップがあった.本年度はこのギャップを埋めることに取り組み,Nakamura-Wada の修正型 Strichartz 評価(Pecher の評価の改善)を用いて証明に成功した.これにより,上記の問題は劣臨界の場合ほぼ完全に解決されたと考えられる.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

Pecher の「結果」自体は最良と考えられるが,その証明には大きなギャップがあり,実質的には未解決であった.本年度の研究により,このギャップを埋めることができたことは大きな進歩であると考えられる.

今後の研究の推進方策

分担者との連絡を一層密にして研究を継続するとともに,海外も含め同様の問題に興味を持つ研究者とも連携して研究に取り組む.

次年度使用額が生じた理由

分担者所属機関(山形大学)中期目標の年度報告のため、会計業務を早目に終了したため.

次年度使用額の使用計画

28年度の研究において使用する.

  • 研究成果

    (16件)

すべて 2016 2015

すべて 雑誌論文 (7件) (うち査読あり 6件、 オープンアクセス 1件) 学会発表 (9件) (うち国際学会 6件、 招待講演 6件)

  • [雑誌論文] Modified Strichartz estimates with an application to the critical nonlinear Schrodinger equation2016

    • 著者名/発表者名
      M. Nakamura, T. Wada
    • 雑誌名

      Nonlinear Analysis

      巻: 130 ページ: 138-156

    • DOI

      10.1016/j.na.2015.09.023

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Solutions to nonlinear Schrodinger equations for special initial data2015

    • 著者名/発表者名
      T. Wada
    • 雑誌名

      Electronic Journal of Differential Equations

      巻: 2015 ページ: 1 - 6

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] On the sharp constant of the weighted Trudinger-Moser type inequality and an application to nonlinear Klein-Gordon equations2015

    • 著者名/発表者名
      M. Ishiwata, M. Nakamura, H. Wadade
    • 雑誌名

      Discrete and Continuous Dynamical System - A

      巻: 35 ページ: 4889-4903

    • DOI

      10.3934/dcds.2015.35.4889

    • 査読あり
  • [雑誌論文] On nonlinear Schrodinger equations derived from the nonrelativistic limit of nonlinear Klein–Gordon equations in de Sitter spacetime2015

    • 著者名/発表者名
      M. Nakamura
    • 雑誌名

      Journal of Differential Equations

      巻: 259 ページ: 3366-3388

    • DOI

      10.1016/j.jde.2015.04.~024

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Remarks on global solutions of dissipative wave equations with exponential nonlinear terms2015

    • 著者名/発表者名
      M. Nakamura
    • 雑誌名

      Communications on Pure and Applied Analysis

      巻: 14 ページ: 1533-1545

    • DOI

      10.3934/cpaa.2015.14.1533

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Remarks on a dispersive equation in de Sitter spacetime2015

    • 著者名/発表者名
      M. Nakamura
    • 雑誌名

      Dynamical Systems, Differential Equations and Applications, AIMS Proceedings

      巻: なし ページ: 901--905

    • DOI

      10.3934/proc.2015.0901

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Remarks on the effect of spatial expansion for nonlinear partial differential equations2015

    • 著者名/発表者名
      M. Nakamura
    • 雑誌名

      Proceedings of the 40th Sapporo Symposium on Partial Differential Equations

      巻: 164 ページ: 74-77

  • [学会発表] A remark on local well-posedness for nonlinear Schrodinger equations2016

    • 著者名/発表者名
      T. Wada
    • 学会等名
      第23回偏微分方程式待兼山セミナー
    • 発表場所
      大阪大学
    • 年月日
      2016-03-08 – 2016-03-08
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] 非線形 Schrodinger 方程式の時間局所可解性についての注意2016

    • 著者名/発表者名
      和田健志
    • 学会等名
      熊本大学応用解析セミナー
    • 発表場所
      熊本大学
    • 年月日
      2016-02-20 – 2016-02-20
    • 招待講演
  • [学会発表] On the effect of spatial variance on partial differential equations in uniform and isotropic spaces2015

    • 著者名/発表者名
      中村誠
    • 学会等名
      名古屋微分方程式セミナー
    • 発表場所
      名古屋大学
    • 年月日
      2015-12-21 – 2015-12-21
    • 招待講演
  • [学会発表] On the nonlinear Schrodinger equation arising in the optical fiber engineering2015

    • 著者名/発表者名
      N. Kita
    • 学会等名
      2015 Engineering Workshop(韓国 亜州大学・中国 山東大学・熊本大学 三大学ワークショップ)
    • 発表場所
      熊本大学
    • 年月日
      2015-11-13 – 2015-11-13
    • 国際学会
  • [学会発表] Strichartz type estimates and applications2015

    • 著者名/発表者名
      T. Wada
    • 学会等名
      2015 International Workshop on Mathematical Sciences in Dalian
    • 発表場所
      Xinghai Golf Hotel, Dalian
    • 年月日
      2015-10-29 – 2015-11-01
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Remarks on the effect of spatial expansion for nonlinear partial differential equations2015

    • 著者名/発表者名
      M. Nakamura
    • 学会等名
      第40回偏微分方程式論札幌シンポジウム
    • 発表場所
      北海道大学
    • 年月日
      2015-08-19 – 2015-08-21
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] On the existence time of the solutions of the scaling critical semilinear Schrodinger equations2015

    • 著者名/発表者名
      M. Nakamura
    • 学会等名
      Workshop on recent progress in evolution equations
    • 発表場所
      Guangdong University of Finance, Guangzhou
    • 年月日
      2015-08-10 – 2015-08-12
    • 国際学会
  • [学会発表] The Cauchy problem for nonlinear complex Ginzburg-Landau equations2015

    • 著者名/発表者名
      M. Nakamura
    • 学会等名
      10th International ISAAC Conference
    • 発表場所
      University of Macau, China
    • 年月日
      2015-08-03 – 2015-08-08
    • 国際学会
  • [学会発表] On the nonrelativistic limit of nonlinear field equations2015

    • 著者名/発表者名
      中村誠
    • 学会等名
      第26回 南大阪応用数学セミナー
    • 発表場所
      大阪市立大学
    • 年月日
      2015-07-11 – 2015-07-11
    • 招待講演

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公開日: 2017-01-06  

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