| 研究実績の概要 |
aとbとrはa+br,a≦r/2を満たす正の整数とする。課題はrが奇数のときに、予想『ｒ-正則グラフには{a,b}-因子が存在する』ことを示すことである。同時に関連するグラフ理論の問題に貢献することである。これに対して、もしaが偶数で2≦a≦r/2ならこの予想が成り立つことを示した。また、もしaが奇数でr/3≦a≦r/2なら予想が成り立つことを示した。そして最近AxenovichとRobbinにより、もしaが奇数で(a+1)(a+2)≦rなら{a,b}-因子の存在しないr-正則グラフが存在することが示された。つまり予想の成り立たない場合あることが示された。一方r=5,a=1,b=4の場合に予想が成り立つかどうかは未解決な最小の場合である。つまり5-正則グラフに{1,4b}-因子が存在するかどうかは未解決である。研究の後半ではこれを中心に研究を行い、これが成り立つためにはあるbi-regularな2部グラフに特別な因子が存在することが必要であるこを示した。その後このような因子は常に存在することがわかった。これについては現在論文を準備中である。研究はこのように進展したが最終的な解決には至っていない。一方、これと関連して別のグラフの因子とか全域木についてもいくつかの新しい結果を得て発表した。次にこれらの論文の例を述べる。
S. Akbari and M.Kano, {k,r-k}-Factors of r-Regular Graphs, Graphs and Combinatorics, 30 (2014) 821-826
Y. Egawa, M. Kano and Z. Yan, (1,f)-factors of graphs with odd property
Graphs and Combinatorics, Vol.32, (2016) 103-110.
M. Kano and Z. Yan, Spanning trees with bounded degrees and leaves, Discrete Mathemtics, 339 (2016) 1583-158
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