| 研究課題/領域番号 |
25400190
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| 研究機関 | 筑波大学 |
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研究代表者 |
坪井 明人 筑波大学, 数理物質系, 教授 (30180045)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | モデル理論 / 安定性理論 / グラフ / モデル完全性 |
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| 研究実績の概要 |
理論Ｔが量化記号消去（ＱＥ）を許すとは，任意の論理式が量化記号∀および∃を持たない論理式と（Ｔのもとで）同値になることである．理論Ｔが量化記号消去を許せば，Ｔのモデルに関する各種の問題を非常に見通しよく考察できる．実閉体のＱＥは重要であり，計算機上にも実装されている．量化記号消去より弱いが同じく数学的に応用できる可能性を持つものがモデル完全性（model completeness）である．この概念は論理式がすべて存在型の論理式と同値になることを意味している．Ｔを∀∃型論理式の集合で記述された理論とする．Ｔがモデル完全なＳと非常に近い関係にあるときＴは随伴可能（companionable）であると言い，ＳをＴのモデル随伴理論（model companion）という．多くの重要な理論が随伴可能なことが知られている．例えば，体の公理は随伴可能で，そのモデル随伴理論は代数閉体の理論である．しかし一方で随伴可能でない理論も存在する．
そこでいかなる時に随伴可能で，いかなる時に随伴可能でないかを判定できる自然で見やすい条件が見つかれば大変良い結果となる．我々はＴが随伴可能となるための必要十分条件および，見やすい十分条件（定義可能拡大という概念を導入した）を発見することができた．
その判定条件を用いると，例えば次のことがわかる：（１）平面グラフの理論（公理化できることは，Ｋ５，Ｋ３３の埋め込み不可能性による）は随伴可能でない．（２）Ｋ４，Ｋ４－を部分グラフとして持たないグラフのクラスの理論は随伴可能である．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究目的の一つは新しい形のタイプ排除定理を構築して，安定性理論/単純性理論の進展に貢献することである．新しいタイプ排除定理の構築まではできていない．しかし安定性理論/単純性理論に関しては，別の方法での研究により，進展に貢献できる結果が出ている．
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| 今後の研究の推進方策 |
有限グラフ全体のクラスＫがラムゼー性を持つことは知られている．その証明に無限構造を使うことにより見通しのよい証明が得られることを示した．
今後は，この方法論を用いて，Ｋの部分クラスでラムゼー性を持つクラスを発見することを目指す．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
研究打合せのために神戸大学（複数回）と鹿児島大学に出張予定でいたが，先方との日程調整が不調に終わったため，実際には予定の回数の出張ができなかった．
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| 次年度使用額の使用計画 |
京都大学数理解析研究所で今年度は大きな研究集会（１２月）が開かれる予定であり，集会への自身の参加および数名の関連する研究者への旅費として使用する予定である．
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