| 研究課題/領域番号 |
25400203
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| 研究機関 | 神戸大学 |
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研究代表者 |
桔梗 宏孝 神戸大学, システム情報学研究科, 教授 (80204824)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | ジェネリック構造 / モデル完全 / グラフ / 有限構造の次元 / 近モデル完全 |
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| 研究実績の概要 |
対数関数タイプの関数fのグラフy = f(x)とy=xで挟まれた領域に（大きさ、次元）の組が遺伝的にはいるような構造のクラスK_fを考える。グラフ構造Aに対し、Aの頂点数からAの辺の数に重みαをかけたものを引いた値をAの次元とする場合について次のような結果を得た。
重みαが1未満の正の有理数の場合、fについてある条件を仮定すると、K_fは融合クラスになり、K_fに対するジェネリック構造はモデル完全になる。fに関する仮定は次のようなものである。αが既約分数m/dの場合、f(x)+1/dは f(cx)以上である。ここで、cは2以上のある定数にとれる。αが1/2以下の場合は、c=2でよい。
Hrushovskiがジェネリック構成法(融合法)を編み出してLachlan予想の反例を構成したときに使用したのがK_fの形の融合クラスであった。ただし、このときのαは無理数である。無理数の場合への拡張は今後の課題である。
K_fの形の融合クラスから作られるジェネリック構造は可算範疇的になる。可算範疇的なジェネリック構造は必ずしもモデル完全にならないこともわかった。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
ジェネリック構造はモデル完全に近いということが知られているが、必ずしもモデル完全とは限らない。モデル完全になることがわかっている例はそれほど知られていなかった。初年度には3ハイパーグラフの場合で次元における重みを1にした場合、K_fのジェネリック構造がモデル完全になることを示した。グラフ構造の場合は、重みが1/2の場合が3ハイパーグラフにおいて重み1の次元を考えた場合に対応しているように思われる。一般の有理数を重みにした場合についても同様の結果を証明できたことは大きな前進と考えられる。
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| 今後の研究の推進方策 |
次元関数の重みが1未満の正の任意の有理数の場合についてK_fに関する結果を得ているので、無理数についても有理数で近似して考えることで結果を得られそうな見通しがある。fに関する条件は重みが有理数であることに依存して決めているので、そこをどう自然な条件に直すかが課題である。組合せ論の研究者の協力も得ることにより、ハイパーグラフに関する研究への応用も視野に入れていく。また、今年の12月には米国のノートル・ダム大学のA. Pillay教授と韓国の延世大学のB. Kim教授らも招待して、京大数理解析研究所の共同研究集会で議論を行う予定である。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
2015年4月7日から4月10日にフランス・マルセイユ市のCentre International de Rencontres Mathematiquesで開催された研究集会Model Theory, Difference/Differential Equations and Applicationsへの渡航費等を確保するため。平成27年度は海外から２名ほど研究者を招聘する予定にしているので、平成27年度分だけですべてまかなうのは難しいと判断した。
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| 次年度使用額の使用計画 |
2015年4月7日から4月10日にフランス・マルセイユ市のCentre International de Rencontres Mathematiquesで開催された研究集会Model Theory, Difference/Differential Equations and Applicationsへの渡航費等に使用する。また、パリ・ディデロ大学のMartin Hils氏との研究打ち合わせのための宿泊費などにも使用する。
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