| 研究課題/領域番号 |
25400210
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 研究機関 | 日本大学 |
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研究代表者 |
武村 一雄 日本大学, 生産工学部, 助教 (60367216)
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| 研究分担者 |
亀高 惟倫 大阪大学, その他部局等, 名誉教授 (00047218)
楳田 登美男 兵庫県立大学, その他の研究科, 教授 (20160319)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | ソボレフ不等式 / 最良定数 / グリーン関数 / 再生核 |
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| 研究概要 |
本年度は研究計画の初年度に当たるが，これまでの研究で求めてきたグリーン関数のデータを再生核理論の立場から整理し直し，連続・離散版ソボレフ不等式の最良評価を求めた．
連続版については，完全ローカットフィルターに対応するソボレフ不等式の最良評価とトムソンケーブルの連続版に対応した最良評価を得た．トムソンケーブルの連続版の場合の最良定数は第2種変形ベッセル関数を用いて表すことができた．離散版については，特に有限グラフに対する離散ソボレフ不等式の最良評価（最良定数，最良ベクトル）を得た．具体的には正多面体（正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正二十面体），メビウスの梯子，d-有限正則グラフを対象とした離散ソボレフ不等式を扱った．いずれの場合も，グラフ上のグラフラプラシアンに対して離散定常熱方程式を考え，対応するグリーン行列を求めた．複素ベクトル空間にグラフラプラシアンを用いた内積を定義し，内積からSchwarzの不等式を適用することにより離散ソボレフ不等式を得ることができた．その最良定数はグラフラプラシアンの固有値を用いた調和平均の逆数として得られた．特に，メビウスの梯子に対応する離散ソボレフ不等式の最良定数では格子点の数を無限大としたときの極限値を得ることができた．この結果は対応する連続版のソボレフ不等式の最良定数に対する近似になっている可能性が高いと考えている．こうしたの離散ソボレフ不等式の最良評価は，今後の離散ソボレフ不等式の最良評価を得る，あるいは応用するための足がかりとなる重要な結果といえる．
本研究結果については，いずれもそれぞれの内容に関連の深いジャーナルに受理済みである．d-有限正則グラフを対象とした離散ソボレフ不等式については，現在論文を作成中である．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本年度は研究計画の初年度であるが，これまで求めてきたグリーン関数のデータを再生核理論の立場から結果を整理することができたため，当初の計画通りソボレフ不等式の離散化へスムーズに移行することができた．特に，メビウスの梯子の場合においては格子点を無限大としたときの離散ソボレフ不等式の最良定数に対する極限値を得ることができた．この結果は連続・離散版ソボレフ不等式の最良評価の統一的手法への足がかりになると考えられる．
また，正多面体の延長線上にあるC60フラーレンについてのソボレフ不等式の最良評価は結果が既に得られているために，論文の作成に取りかかっている．次年度には関連の深い雑誌に投稿する予定である．また，d-有限正則グラフの場合は年度末に日本数学会（函数解析学分科会）で発表したため，次年度に論文として発表予定である．
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| 今後の研究の推進方策 |
本年度末にd-有限正則グラフに対する離散ソボレフ不等式の最良評価を得ることができた．この結果はグラフラプラシアンとして組合せ論的ラプラシアン（次数行列と隣接行列の差）を対象として評価を行った．すなわち，隣接行列が対称なテプリッツ行列となる場合を考察したことに対応している．この行列が登場したことにより，離散ソボレフ不等式の最良評価が確率論的な意味付けができることを示唆している．したがって，今後はこの組合せ論的ラプラシアンを確率論的ラプラシアン（単位行列と推移行列の差）とした場合を次のステップとして考えてゆきたい．一般に，有限グラフは非対称である．非対称な推移行列からグラフラプラシアンを構成することにより，本年度の成果であるd-有限正則グラフ上の離散ソボレフ不等式の最良評価の拡張になるととともに，離散ソボレフ不等式の最良評価に対する確率論的意味付けを与えられると考えている．今後はさらに，本年度の有限グラフはいずれも無向グラフであるため，可能であれば，次年度から有向グラフも取り入れて，これらの最良評価に取り組みたいと考えている．
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| 次年度の研究費の使用計画 |
本年度予定していた国際会議への参加を取りやめたために，使用額にその分の差額が生じた．
次年度においては，国際会議で予定通り研究発表を行う予定であるが，可能であれば昨年度分の成果も含め複数回の研究発表を行いたい．この他，コンピュータのデータ保存用ハードディスクの置き換えも予定している．
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