| 研究課題/領域番号 |
25400212
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| 研究機関 | 早稲田大学 |
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研究代表者 |
田端 正久 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (30093272)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | 数値解析 / 特性曲線有限要素法 / 収束性と安定性 / ナヴィエ・ストークス方程式 / オセーン方程式 / 圧力安定化法 / ラグランジュ・ガレルキン法 / 粘弾性流体 |
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| 研究実績の概要 |
１．２次元問題で三角形１次要素，３次元問題で四面体１次要素を用いて，流速と圧力を近似する圧力安定化特性曲線有限要素近似スキームの解が厳密解に収束することの証明を整理し，国際学術雑誌に投稿した．線形化ナヴィエ・ストークス方程式であるオセーン方程式に対する結果は Journal of Scientific Computing から公表された．ナヴィエ・ストークス方程式に対する結果も近々，公表される予定である．ここで，開発した手法を，流れと熱の連成している自然対流問題やペターリン型粘弾性問題にも適用した．
２．ガレルキン特性曲線有限要素法(ラグランジュ・ガレルキン法とも呼ばれる)は流れ問題のための優れた有限要素計算スキームであるが，そこに現れる合成関数項の積分が容易でないという課題があった．数値積分を用いると，そこから生じる誤差が，理論的に証明された安定性を破壊することがあることが知られている．この問題を解決するために，合成関数項の厳密な積分が常に可能になるように，流速を局所線形化近似流速で置き換える方法を開発した．この置き換えにより，数値積分を使う必要がなくなり，理論的安定・収束性結果が維持される．実用計算で用いられる低次の要素では，収束精度に損失がないことも証明した．この局所線形化流速法は，移流拡散方程式に対しては昨年度に結果を得ていたが，今年度，ナヴィエ・ストークス問題に対しても証明することができた．これらの結果を整理し，学術論文に投稿した．
３．上記の理論的研究成果と数値計算結果を，日本数学会や日本応用数理学会などの国内学会および，国際数学者会議などの国際学会で発表し研究討議を行った．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究課題「ガレルキン特性曲線有限要素法による数値解析の展開」を達成するための主要事項は，新しい効率的なガレルキン特性曲線有限要素スキームを開発し，その解の収束性をナヴィエ・ストークス方程式に対して証明することである．従来，流速と圧力が下限上限条件を満たす要素（例えば，三角形２次要素と三角形１次要素の組み合わせ）では収束性がすでに確立されていたが，我々は，流速と圧力をともに三角形１次要素で近似する圧力安定化スキームで有限要素解の収束性を証明することに成功した．三角形１次要素は計算量の観点から，非常に優れた要素であり，この要素を特性曲線有限要素法（ラグランジュ・ガレルキン法とも呼ばれる）に用いることの正当性を示すことができた意味は大きい．特性曲線有限要素法の唯一の問題点と考えられてきたのは合成関数項の積分である．過去の理論的結果のほとんどは，この合成関数項の積分が厳密に行えるものとして結果を得ている．しかし，現実の計算では，この合成関数項の積分を厳密に行うことは不可能で，数値積分が用いられる．そこで生じた誤差が，理論的収束性結果を破壊する問題があった．この度，ナヴィエ・ストークス問題に対しても，この合成関数項の積分が厳密に得られる局所線形化流速手法を開発し，以前の理論的結果が実際の計算で維持されることを示した．このようにして，ガレルキン特性曲線有限要素法の実践において，克服すべき課題が解決されたと考えている．更に，この新しい計算手法を他の流れ問題に適用することも着々と進んでいる．
以上の観点から，研究は順調に進展しているといえる．
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| 今後の研究の推進方策 |
１．2014年度に，我々はナヴィエ・ストークス問題の数値解法に関して二つの新しい結果を得た．一つは，特性曲線有限要素法に現れる合成関数項の積分に，局所線形化流速法を用いて，特性曲線有限要素法の持っている唯一の欠点と考えられる数値積分を使用する必要がなくなったことであり，もう一つは，流速と圧力をともに三角形１次要素（３次元問題では四面体１次要素）を使う安定化特性曲線有限要素スキームの収束性を証明したことである．2015年度は，これら二つを結合した新しい計算スキームである局所線形化流速法による安定化特性曲線有限要素スキームの解析と実装を行う．このスキームでは１次要素を使うので局所線形化流速による精度損失は生じない．局所線形化流速法によるプログラムの実装は２次元問題では完成しているが，それを３次元問題に拡張する．二つの四面体の交わりを類別するアルゴリズムは２次元問題に比べて複雑になるが，有限要素法特有のデータ構造を活用して，開発する予定である．安定化特性曲線スキームの部分に関しては３次元問題への拡張は，すでにできている．
２．局所線形化流速法を用いた圧力安定化特性曲線有限要素法の応用．今までは粘性流体問題を考えてきたが，粘弾性流体問題の解析を，開発した新しいガレルキン特性曲線有限要素法を用いて行う．特に，付加応力テンソルが配座行列の非線形関数として表現されるペターリンモデルの粘弾性問題を取り扱う．この問題の配座行列の支配方程式に現れる非線形性の取扱いを容易にするために，オセーン型の移流項について，解析を始める．数値計算では，オセーン型移流項問題の結果を確認し，配座行列の支配方程式を元の非線形移流項に戻して，数値計算を続行する．二流体問題の解析も引き続き行う．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
予定していた出張計画が一部変更になり支出が減少した．
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| 次年度使用額の使用計画 |
本年度の研究計画全体の中で有用に使用する．
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