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インターネットや人間関係などのつながり方を記述すると考えられている複雑ネットワークにおいては、次数（１つの頂点につながる辺の数）がべき分布する性質（スケールフリー性）が重要である。スケールフリー性をもつネットワークの辺が向きづけられている場合について、数理モデルを構成し、その隣接行列について、固有パラメータ分布の漸近的な振る舞いを評価する研究を進めている。辺が向きづけられていることから、隣接行列は一般には非対称行列になり、その固有値は複素平面上に２次元分布する。また、それぞれの頂点に対して、内向き次数（頂点につながる内向きの辺の数）と外向き次数（頂点につながる外向きの辺の数）が定まる。今年度は、数値的手法によってそれらの固有値の２次元分布を評価して、内向き次数の多い頂点ほど外向き次数が多い場合と、内向き次数の多い頂点ほど外向き次数が少ない場合の違いなどを調べた。向きづけられた辺をもつネットワークの隣接行列をはじめとして、非エルミート行列は、一般には複素平面上に２次元分布する固有値をもつ。非エルミートランダム行列の代表的な数理モデルについては、複素平面上で直交する多項式の性質を利用することによって、厳密に解析することが可能であり、さまざまな普遍的な振る舞いが導出されている。これらの厳密に解析できる数理モデルについては、数理的な考察によりさらに拡張することができると予想される。複素平面上の直交多項式についての理解を深めることにより、数理モデルを拡張して、新しい普遍的な振る舞いを得ることも試みている。
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