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インターネットや人間関係などのつながり方を記述するとされている複雑ネットワークにおいては、次数（１つの頂点に直接につながる辺の数）がべき分布する性質（スケールフリー性）が見出されることが知られている。スケールフリー性をもつネットワークの辺が
向きづけられている（辺上に矢印をもつ）場合について、複雑ネットワークの数理モデルを構成し、その隣接行列について、固有パラメータ分布の漸近的な振る舞いを評価する研究を進めている。辺が向きづけられていることから、隣接行列は一般には非対称行列とな
り、その固有値は複素平面上に２次元分布する。今年度は、スケールフリー性をもつネットワークの辺が向きづけられている場合と向きづけられていない場合を連続的につなぐモデルについて、数値的手法により、隣接行列の固有値の２次元分布を評価する研究を行っ
た。特に、内向き次数（内向きに入る矢印の数）と外向き次数（外向きに出る矢印の数）の大きさによる頂点の順序づけが、固有値分布にどのように関係するのかに興味がある。また、ネットワークの辺が向きづけられている場合と向きづけられていない場合を連続的
につなぐモデルの隣接行列は、エルミート行列と非エルミート行列を連続的につなぐ数理モデルの例になっている。そのような数理モデルのうち代表的なランダム行列モデルについては、複素平面上で直交する多項式の性質を利用することにより解析できることが知ら
れている。これらのランダム行列モデルを拡張して、複素平面上の直交多項式の理論に関連づけることにより、新しい普遍的な振る舞いを見出したいと考えている。
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