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インターネットや人間関係などのつながり方を記述するとされている複雑ネットワークにおいては、次数（１つの頂点に直接につながる辺の数）がべき分布する性質（スケールフリー性）が見出されることが知られている。スケールフリー性をもつネットワークの辺が向きづけられている（辺上に矢印をもつ）場合について、複雑ネットワークの数理モデルを構成し、その隣接行列について、固有値分布の（頂点数が大きい極限における）漸近的な振る舞いを評価する研究を進めている。辺が向きづけられていることから、隣接行列は一般には非対称行列になり、その固有値は複素平面上で２次元分布する。今年度は、数値的手法により、隣接行列の固有値の複素平面上での広がりを評価する研究を行った。特に、内向き次数（内向きに入る矢印の数）と外向き次数（外向きに出る矢印の数）の大きさによる頂点の順序づけが、固有値分布の広がりにどのように影響するのかを調べ、理解を深めた。また、向きづけられている辺をもつネットワークの隣接行列は、非エルミートランダム行列の例であるとみなすことができる。そのような非エルミートランダム行列モデルのうち代表的なものについては、２次元流体の統計力学との関係に着目し、複素平面上で直交する多項式の性質を利用することにより解析できることが知られている。これらのランダム行列モデルを拡張して、複素平面上の直交多項式の理論に関連づけることにより、新しい普遍的な振る舞いを導き出す方向に研究が進んだ。
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