| 研究課題/領域番号 |
25600157
|
|---|
| 研究種目 |
挑戦的萌芽研究
|
| 研究機関 | 福井大学 |
|---|
研究代表者 |
坂口 文則 福井大学, 工学(系)研究科(研究院), 准教授 (20205735)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2016-03-31
|
| キーワード | 数値計算手法 |
|---|
| 研究概要 |
今回研究対象となっている微分方程式の整数型解法を偏微分方程式に拡張した汎用的なアルゴリズムをの実装を試みている（その進行状況の詳細については、「現在までの達成度」欄に記載したので、ここでは省略する）。また、その計算量のオーダーと必要なメモリ容量のオーダーを理論的に調べることに成功した。
それと並行して、すでに提案済み（日本数学会2010年度年会応用数学分科会、坂口・林「シュレーディンガー方程式の固有値問題の整数型高確度解法」）の線型補間を利用したこの整数型解法の固有値問題への応用の手法を大幅に改良する方法を提案した(未発表）。この改良により、これまで手作業で行ってきた線型補間の更新作業をすべて自動で行われるようになっただけでなく、多項式因子を左から乗じることによって新たに許される解の特異性が２次元以上の場合にもこの方法が適用でき、したがって複素固有値の固有値問題にもこの方法が幅広く適用できることが判明した。
また、今回研究している微分方程式の整数型解法は、これまで線型同次型方程式のみ対象としてきたが、線型非同次方程式を解く問題を階数の１つ高い線型同次方程式を解く問題に帰着させることにより、線型非同次方程式にも幅広く適用できることがわかり、実際にいくつかの非同次方程式の例で、この整数型解法により有効数字数百桁で数値解を求めることに成功した。
さらに、半無限区間のみに解をもつ微分方程式にこの整数型解法を適用する際に、変数変換によって区間端の特異性を除去することによって数値性能が大幅に上昇することはすでに判明している（Sakaguchi & Hayashi, Numerical Functional Analysis and Optimization, 32, 1316-1364)が、有限区間のみに解をもつ場合にも、別な変数変換によって同様の数値性能向上を行うことに成功した。
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
今回研究対象となっている微分方程式の整数型解法は、常微分方程式だけでなく偏微分方程式にも適用可能であることが理論的に判明しているが、偏微分の場合には、研究計画調書の「研究計画・方法（概要）」欄にも記載したように、基底の「隣接範囲」が複雑な形状になり、またその形状が偏微分方程式の形によって大幅に異なるため、偏微分方程式の形によらず幅広く使える汎用的なアルゴリズムを作るためには複雑な離散数学的手法を必要とする。具体的には、それぞれの基底関数が初めて｢隣接領域」と関わりをもつ順番に degree を定義し、degree に基づいて割り当てられた新しい番号体系ともとの複数添字の基底番号の番号体系との間の対応を記憶する配列を定義し、それに基づいて隣接する基底を順次呼び出し計算に加える。そのプログラムへの実装が当初予想していたより遥かに煩雑で、プログラムの実現に非常に多くの時間を要している。
また、その作業の間に「研究実績の概要」欄で述べたような線型補間の自動更新による固有値の整数型高確度アルゴリズムや、微分方程式の整数型解法の非同次方程式への拡張などの、今回の研究対象に深く関連した他の複数の課題で新しい発見が次々にあり、作業の流れ上それらを優先したため、結果的には主要なテーマである偏微分方程式のための汎用アルゴリズム完成に至っていない。
全体として、結果的に多数の課題に良好な数値結果が多く出ていても整理中であるため、そのままでは発表できない状態になっており、論文にまとめたり発表の準備を進めている状態である。さらに数々の個人的事情で十分な時間が取れなくなったことも重なった。
|
| 今後の研究の推進方策 |
まず優先すべきことは、引き続き偏微分方程式への拡張の汎用的アルゴリズムの完成とプログラムとしての実装を急ぐとともに、線型補間の自動更新による固有値の整数型高確度アルゴリズムの開発を続行する。本来は解析的に解けない偏微分方程式のための数値解法であるが、前者のアルゴリズムの完成後は、そのアルゴリズムの数値性能を、まずは解析的に解けて真の厳密解が既知の例について調べる。
「研究実績の概要」欄にも記述したように後者の手法が複素固有値にも適用可能なことが昨年判明したため、当初の計画書には含まれていなかったが応用範囲が広く重要と思われるので、複素固有値への整数型解法の応用も今回の研究対象に追加する。また、主要な目的の偏微分方程式へ拡張された汎用的アルゴリズムが完成すれば、偏微分作用素の複素固有値の固有値問題への拡張も視野に入れ、研究課題に追加する。
また、それらとは別に、線型補間による固有値問題への応用や、非同次方程式への拡張、変数変換による周期ポテンシャルを持つシュレーディンガー方程式のバンド分析への応用、係数関数が有理関数平方根を含む場合への拡張などは、すでに良好な数値結果が数多く出ているので、これらの数々の研究成果を、早急に複数の論文にまとめ、また、その成果を各種の研究集会や学会で発表する必要がある。
今回の整数型解法は、その汎用性から数々の応用の可能性があるので、今後もこの整数型が有効に応用できる問題がないか検討し、応用の可能性があれば、研究課題に順次取り入れていき、研究が厚みや広がりのあるものとなるよう努力したい。
さらに、この整数型解法はフーリエ級数など古典的な調和解析や複素函数論の佐藤超函数と密接な関係があるので、単なる数値計算手法としてだけでなく、純粋数学と数値計算法の橋渡しを目指したり隣接分野との関わりを模索したい。
|
| 次年度の研究費の使用計画 |
すでに「現在までの達成度」欄に記入したように、研究の進行が当初の計画より遅れているために、論文や学会・研究集会における発表ができず、このため、旅費や学術論文掲載料が不要となり、また、物品の購入も当初の計画と比較するとかなり小規模にとどまっている。
今後の研究の発展に伴って、平成２６年度で非常に多くの研究経費が必要となることが見込まれるので、平成２５年度の使用はなるべく控えめにし、その分を平成２６年度で集中的に使用することにしたため、次年度使用額が生じた。
平成２５年度に計画通りに完成できなかった研究活動を加速して推進する上で平成２５年度よりも集中的に使用する。具体的には、偏微分方程式の整数型アルゴリズムの実装のためのパソコンやメモリの購入、学会や研究会での発表のための旅費、研究打ち合わせのための旅費、数値計算の補助のための学生アルバイトへの謝金、学術論文掲載料などである。
|
