| 研究課題/領域番号 |
25600157
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| 研究機関 | 福井大学 |
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研究代表者 |
坂口 文則 福井大学, 工学(系)研究科(研究院), 准教授 (20205735)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | 数値計算手法 |
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| 研究実績の概要 |
今回の研究対象となっている微分方程式の整数型解法の偏微分方程式への拡張については、その具体的な実装法を提案し、それに基づいてプログラムを作成し、実際の偏微分方程式の数値例について数値性能分析を行う作業を遂行することを目指し、現在進行中である。残念なことに、当初の想定よりもプログラムがはるかに煩雑なものとなったため、プログラムを組むために必要な時間だけでなく、プログラムからバグを除去する作業に予想以上の時間を要し、本報告書作成時点で未だにバグが取り切れず、実際の数値計算を開始するまでに至っていない。しかしながら、２６年度と比較すると、プログラムへの実装が大幅に具体化された形で完成したことになり、その意味では大きく進歩したといえる。
その間に、副産物としていくつかの新たな発見や進展があった。その中でも、非常に重要な発見として、上記の微分方程式整数型解法で得られる数値結果と整数論の分野で議論されている連分数との間に密接な関係が存在することが経験的に判明してきたことが挙げられる。この発見は、解析分野の数値解法と古典整数論との間に新たな接点が存在することを示唆することになり、当初予想もしなかった方向に本研究が発展する可能性が出てきたという意味で、重要な進展の１つであろう。
また、本研究で用いられるアルゴリズムでは、余剰解を除去するために整数ベクトルの準直交化を利用しているが、その計算のための数列解同士の間の内積の計算において最も計算量が嵩んでいる。これを回避する一つの方法として、準直交化の一部もしくは全部を、条件付き1-ノルム最小化問題で代行するというアイデアが最近浮上した。これが成功すれば、特に１次独立な数列解の個数が多い偏微分方程式の場合には、大幅な計算量節約ができることになるため、この発見も２７年度における大きな進展の一つである。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
4: 遅れている
理由
当初の予定では、偏微分方程式の整数型解法のプログラムを実際に作成し、実際の偏微分方程式の例で数値計算を行う予定であったが、「研究実績の概要」欄の冒頭で述べたとおりの事情で、プログラムが非常に煩雑な構造をしているため、バグの除去に予想以上に手間取り、まだ数値計算の開始にさえ漕ぎつけていない状態である。また、常微分方程式の場合と比べると、必要なメモリの容量が格段に大きくなるため、なるべく疎な配列を使わないようなプログラミング上の工夫が必要なことも判明してきて、対応に想定以上の時間を要した事情もある。
「研究実績の概要」欄の後半で述べたような２つの重要な発見があり、特に前者の連分数との関係の発見については、非常に興味深く思われたので、その分析に時間を割いてしまったことも影響した。
全体として、結果的に多数の課題に興味深く良好な数値結果が多数出ていても、並行的に整理中の段階にあり、そのままでは論文として完成できない状態にあり、現在のその整理と完成を目指している。さらに、数々の個人的事情で十分な研究時間が取れなくなったことも重なった。
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| 今後の研究の推進方策 |
以上の事情で進捗が遅れているため、本来は平成２７年度が最終年度であるはずであったが、平成２８年２月に補助事業期間延長承認申請書を提出し、同３月にご承認をいただくことができた。したがって、平成２８年度に遅れを取り戻すべく研究を遂行する。
まず急ぐべきことは、バグを除去して実際の偏微分方程式の数値例について数値計算を開始することである。これにより、得られた数値解の誤差の大きさや必要な計算量を分析することにより、提案したアルゴリズムの数値計算の性能分析を行う。次に、偏微分作用素の固有値の整数型計算法への拡張を試みる。
また、「研究実績の概要」欄の末尾で述べた、整数ベクトルの準直交化を条件付き1-ノルム最小化で置き換えることによる計算量の大幅削減の実現を試みる。整数ベクトルの準直交化は見方を変えれば整数型の条件付き2-ノルム最小化問題となるため、2-ノルムの代わりに1-ノルムを用いる近似解法が期待できる（両ノルムはシュワルツの不等式で互いに上下限が抑えられる）。1-ノルムの最小化には、数列解同士の間の内積の計算は必要とされないため、特に１次独立な数列解の個数が多い偏微分方程式の場合には、計算量のオーダーが大幅に削減できる（そのオーダーは理論的に見積もり積みである）。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
すでに「現在までの達成度」欄に記入したように、研究の進行が当初の計画より遅れているために、論文や国際研究集会での発表ができず、このため、学術論文掲載料や旅費が不要となったため。
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| 次年度使用額の使用計画 |
研究遂行に必要な物品の購入はすでに済ませているので、学術論文掲載料や旅費などに集中的に使用する、
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