| 研究課題/領域番号 |
25610017
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| 研究種目 |
挑戦的萌芽研究
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| 研究機関 | 北海道大学 |
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研究代表者 |
相川 弘明 北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (20137889)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | Harnack不等式 / 除外集合 / 境界Harnack原理 / IU / 容量的幅 |
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| 研究概要 |
除外集合を許したHarnack不等式を確立し，グラフで表される領域に応用した．
複雑な領域に対するポテンシャル論的性質として，境界Harnack原理と熱半群に対するIntrinsic Ultracontractivity（IU)がある．Intrinsic Ultracontractivityは放物型境界Harnack原理と呼ばれることもある．どちらの性質も解析的および確率論的な定式がある．境界Harnack原理より，Intrinsic Ultracontractivityの方がより一般の領域に対して成り立つことが知られている．グラフで表される領域で言えば，境界がHolder連続グラフで表されるとき，境界Harnack原理が成り立ち，境界がLp関数のグラフで，pが次元-1より大きいときIntrinsic Ultracontractivityが成り立つ．とくにLp関数のグラフで表される領域は通常の滑らかさはなく，普通のHarnack不等式はまったく役に立たない．このような場合に除外集合を許したHarnack不等式が有効であることを示し，Green関数のレベルセットの容量的幅を評価することに成功した．この容量的幅の評価を放物型箱議論を組み合わせることにより，Intrinsic Ultracontractivityを示すことができた．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
Intrinsic Ultracontractivityは今まで対数的ソボレフ不等式を経由して得られていたが，除外集合を許したHarnack不等式，容量的幅，放物型箱議論による全く別のアプローチを得ることができた．今までの数多くの論文を別の観点から見直すことにより，新しいsolutionや問題が見つけられると思われる．この結果は投稿中であるが，査読者からは好意的なレポートが返ってきており，採用されるものと期待される．また，国内外の研究集会・セミナーで発表し，多くの有用なレビューを受けることができている．
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| 今後の研究の推進方策 |
除外集合を許したHarnack不等式をユークリッド空間で確立している．今後は幾何学的一般化，方程式の一般化，非線形化が考えられる．幾何学の観点からはWidely Accessibleという概念が既に提唱されており，この方向への一般化は比較的短時間で可能と思われる．方程式の一般化については，線形の範囲では想像がつくが，非線形の場合には多くの困難があり，周辺を固めながらじっくりと取り組む必要がある．
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| 次年度の研究費の使用計画 |
残りが少額のため，翌年度に繰り越した．
繰り越しは少額のため，当初の予定通り執行する．
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