| 研究課題/領域番号 |
25610018
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| 研究機関 | 東北大学 |
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研究代表者 |
竹田 雅好 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (30179650)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| キーワード | 準定常分布 / 半群のコンパクト性 / マルコフ過程の緊密性 |
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| 研究実績の概要 |
対称マルコフ過程に緊密性なる性質を与えると、非常に強いエルゴード性、すなわちコンパクト集合の補集合からの脱出時刻が指数可積分性を持つ、ことが昨年度の研究で示せた。そのことから初期値に関する一様な大偏差原理が示せる。本年度の研究ではその応用として、マルコフ過程が規約で強フェラー性を満たせば、その生成する半群がコンパクト作用素になり、かつそのすべての固有関数が有界連続関数となることが分かった。昨年までの研究では、緊密性から基底の存在については分かっていた。本年度の研究でコンパクト性まで強めることができた。従来からよく研究されているディリクレ・ラプラシアンやシュレディンガー作用素から生成される半群のコンパクト性証明に対して、緊密性を示すことでコンパクト性を示すという確率論的な接近が可能になった。実際、無限遠点近傍での滞在時間を評価することで緊密性を示すことができ、コンパクト性が示せる。準定常分布の存在証明の第一歩である基底の存在に関する進展といえる。対称安定過程を主要部にもつシュレディンガー作用素の場合には、緊密性がコンパクト性の必要十分条件であることも分かった。その場合については内在的超縮小性に対する研究も進んでいるようなので、ジャンプ型対称マルコフ過程でかつ無限遠点へのジャンプによって生存時間が確率１で有限になる場合に、準定常分布の存在と一意性を示せる可能性がでてきた。
固有関数の有界性を示す過程で、ファインマン・カッツ半群の作るグリーン関数に対して測度のポテンシャルを定義すると、ゲージ関数と呼ばれるファインマン・カッツ汎関数の積分が補正項として現れるポテンシャルの最大値に関する不等式を得た。ポテンシャルの最大値は測度の台の上でとるという従来の最大値原理の代替となる不等式とも考えられ、マルコフ半群の作るグリーン関数の拡張としてそれ自体興味深い副産物であり応用を考えたい。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
実績で述べたように、対称マルコフ過程に緊密性なる性質を与えると非常に強いエルゴード性を持つことが昨年度の研究で示せたが、その事実から半群がコンパクト作用素とすべての固有関数が有界連続性が示せた。従来これらの結果は、ソボレフ空間などの関数不等式に依った証明に依存していたが、マルコフ過程の定性的性質から導かれたことは意表をつくものであった。昨年度までの研究では、緊密性から基底の存在についてのみ分かっていたが、コンパクト性まで強めることができた。これらの結果は、従来からよく研究されているディリクレ・ラプラシアンやシュレディンガー作用素から生成される半群のコンパクト性証明に対して確率論的な接近、すなわち無限遠点近傍への滞在時間を評価することでコンパクト性を示すことができることを意味する。準定常分布の存在証明の第一歩である基底の存在についての進展といえる。従来の結果と比べても、本研究で得られた確率論的条件は、確率過程の性質を反映した見通しの良いものとなっている。確率論的証明は、シュレディンガー半群のコンパクト性に関してポテンシャルが測度の場合にも応用できる。確率論的には爆発ではなく消滅によって生存時間が有限になる場合については、マルコフ連鎖の場合を除いて殆ど結果の無いのが現状である。ジャンプ型対称マルコフ過程についても準定常分布の存在と一意性に関して考察できる基盤ができたといえる。
固有関数の有界性を示す上で、ファインマン・カッツ半群の作るグリーン関数に関する測度のポテンシャルについて、ゲージ関数を補正項とする最大値原理の代替となる不等式をえたが、それ自体興味深い副産物であり基底の有界性証明・準定常分布の一意性の応用可能である。
以上の結果については、既に論文を書き上げ投稿中である。コンパクト性に関する話題についてはプレプリントとして作成済である。
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| 今後の研究の推進方策 |
昨年度までは研究が進展していたこともあり、研究と論文作成に集中し研究連絡や研究の成果発表は控えてきた。今年度は本課題の最終年度にあたり、海外の専門家との研究打ち合わせや積極的な講演活動を行う。特に、昨年度得られたコンパクト性に関する結果を中心にして、本課題である準定常分布の一意性についての発表を行う。そのためには対称マルコフ過程のエルゴード理論が必要になると考えられる。既知の結果を補填・整理し、ノートとして纏めたい。
夏に開催予定している国際研究集会では、ジャンプ型マルコフ過程の専門家を招聘する予定であり、ジャンプ型マルコフ過程の場合、また消滅のため生存時間が有限になる場合への拡張を模索する。
対称安定過程関しては内在的超縮小性に対する研究が近年著しく進んでいる。内在的超縮小性の証明は、準定常分布の一意性の鍵となる性質であり資料の収集をおこなう。特に、ジャンプ型対称マルコフ過程で無限遠点へのジャンプによって確率１で生存時間が有限になる場合に、準定常分布の存在と一意性に関して考察する。
ファインマン・カッツ半群の作るグリーン関数に関する測度のポテンシャルについて、ゲージ関数を補正項として最大値原理の代替となる不等式をえた。マルコフ半群の作るグリーン関数の拡張として、それ自体興味深い副産物である。従来、ゲージ関数が有界になるための必要十分条件が分かっていなかったため、ゲージ関数を補正項にもつ最大値原理が十分に考えられてこなかったことが考えられる。新たな応用をみつけたい。
昨年度課題として述べた多次元拡散過程における準定常分布の一意性に関する例の構成については引き続き行う。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
来年度の研究打ち合わせ・招聘旅費等で使用予定があり、今年度は研究を効率的にしたことにより発生した。
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| 次年度使用額の使用計画 |
平成27年度請求額とあわせ、海外出張旅費・招聘など27年度の研究執行に使用する予定である。
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