| 研究課題/領域番号 |
25610025
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| 研究種目 |
挑戦的萌芽研究
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
儀我 美一 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (70144110)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | 距離空間 / ハミルトン・ヤコビ方程式 / 比較定理 / 粘性解 / 劣最適性 / 勾配流 |
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| 研究概要 |
距離空間上のハミルトン・ヤコビ方程式を扱えるようにすることは重要であるが、ハミルトニアンが不連続な場合を考えるとなると、ユークリッド空間での解析の準備が必要である。本年は、ユークリッド空間上の点源を外力とする不連続性の強いハミルトニアンを持つハミルトン・ヤコビ方程式について粘性解論を確立し、比較定理、存在定理を導いた。これらの結果は、当時大学院生であった浜向直氏（現早稲田大学PD）との共同研究により得られた。なお、研究協力者である浜向氏は、この結果をもとに解の長時間挙動も解析した。いずれも将来、距離空間上での粘性解を考えるうえで重要な基礎理論となることが予想される。
一方、距離空間上のアイコナール方程式についても考察した。一般距離空間上では関数の勾配はその大きさのみ定義でき、向きは定義できない。関数の勾配の大きさを与え、その条件を満たす関数を見つける問題は、アイコナール方程式の可解性問題である。一般の距離空間であってもアイコナール方程式のディリクレ問題は解を適切に定義すれば、一意解を構成できるだけではなく、比較定理も証明した。この結果は院生の中安淳氏、浜向氏との共同研究によって与えられた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
不連続ハミルトニアンなどユークリッド空間でも扱えなかったハミルトン・ヤコビ方程式の粘性解論が確立されるなど、十分な準備が行われた。また平均曲率流方程式のように距離空間の勾配流とみなせる方程式についても問題の定式化が進んでいる。
距離空間上のアイコナール方程式については、粘性解の適切な定義を見つけることに成功するなど、満足できる結果が得られている。
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| 今後の研究の推進方策 |
(1) 距離空間上の勾配流とみなすことにより、平均曲率流方程式の弱解を構成することについては、等方的曲率による平均曲率流の場合を除いて、非等方的な場合は、等高面法による解以外知られていない。エネルギー原理に基づく解の構成が望まれる。さまざまな解概念をよく比較することにより、変分原理を満たす時間大域解の構成を試みる。
(2) 時間発展のある場合に一般化するだけではなく、ネットワーク上のハミルトン・ヤコビ方程式の解概念との比較など、他の解の概念との比較を積極的に行っていきたい。
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| 次年度の研究費の使用計画 |
当初はさまざまな研究集会に参加することを予定していたが、別用務と組み合されたり、また先方負担などのため、使用しなくてよくなってしまった。もちろん研究協力者との研究打合せのための出張も考えていたが、日程の都合上、出張できなくなったりすることが多かった。このため旅費をほとんど使用しなかった。
次年度には、前年度に招聘、出張できなかった分、積極的に招聘および出張を行い、情報収集、成果報告に努めることにする。
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