| 研究課題/領域番号 |
25610026
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| 研究種目 |
挑戦的萌芽研究
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| 研究機関 | 東京工業大学 |
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研究代表者 |
柳田 英二 東京工業大学, 理工学研究科, 教授 (80174548)
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| 研究分担者 |
菅 徹 東京工業大学, 理工学研究科, 助教 (60647270)
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| 研究期間 (年度) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| キーワード | 関数方程式の大域理論 / 特異性 / 安定性 / 漸近挙動 / 分岐構造 |
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| 研究概要 |
線形および非線形熱方程式の特異解について研究を進め，以下のような成果をあげた．
・熱方程式に対し，動的特異点が除去可能であるための必要十分条件をもとめ，これをより高次の特異集合を持つ場合へと拡張するとともに，除去可能でない特異性を持つ解の存在を示した．
・動的特異点を持つ線形熱方程式の解で，特に空間的特異性の強さが時刻によって変化するものを考察した．具体的には，動的特異点の動きの滑らかさに応じて，特異点近傍での解の形状が漸近的に非球対称となり，特異性の強さが変化することを突き止めた．
・藤田型方程式に対し，指数に関する適当な仮定のもとで，球対称な定常特異解の挙動について調べ，重み付き空間において初期値と定常解への収束レートの関係を明らかにした．
・吸収項を持つ半線形放物型方程式に対し，すべての動的特異点が除去可能であるための条件を明らかにし，除去可能でないときに，２種類の特異性が表れることを示した．
・藤田型方程式に対し，ホモクリニック解の到達可能性という概念を定義し，到達可能であるための必要条件について調べ，指数がソボレフ臨界指数を超えたところに，到達不可能なホモクリニック解が存在することを証明した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
線形熱方程式については，解の特異点の除去可能性について必要十分に近い条件を明らかにするとともに，高次元の特異性についてもある程度の結果を得た．逆に，除去可能でない動的な特異点を持つ解の存在を明らかにした．また，特異点の変性と呼ばれる現象が実際に起こることを示し，そのための条件を求めた．
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| 今後の研究の推進方策 |
線形熱方程式の解の特異性については今年度の研究でかなり詳しく分かってきた．また，線形熱方程式の特異解を修正することにより，非線形熱方程式の優解および劣解が構成できることを発見し，これを用いることにより，非線形の場合への拡張へと拡張できる可能性が高まった．
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| 次年度の研究費の使用計画 |
スロバキアの Marek Fila 教授と非線形放物型方程式の多重可解性二関する共同研究を行う予定であったが，先方の都合により26年度へと延期になった.
台湾の Kin Ming Hui 教授との特異点の除去可能性についての研究連絡，スロバキアの Marek Fila 教授との多重可解性に関する共同研究を行うほか，バンフ研究所における国際研究集会への出席を予定している．
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