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2014 年度 実施状況報告書

四色定理の理論的別証を導く切断多面体の正規性予想の肯定的解決への挑戦

研究課題

研究課題/領域番号 25610032
研究機関大阪大学

研究代表者

日比 孝之  大阪大学, 情報科学研究科, 教授 (80181113)

研究期間 (年度) 2013-04-01 – 2016-03-31
キーワード切断多面体 / 切断イデアル / トーリックイデアル / グレブナー基底 / 正規多面体 / Hilbert basis
研究実績の概要

有限グラフに付随する切断多面体の正規性の探究を、グレブナー基底の代数的理論の観点、及び、凸多面体の組合せ論の観点から、多角的に展開し、切断多面体の正規性予想と呼ばれる懸案の予想「有限グラフに付随する切断多面体が正規であるための必要十分条件は、その有限グラフが5次の完全グラフ K_5 をマイナーとして持たないことである」を肯定的、あるいは、否定的な解決に挑戦することが、本挑戦的萌芽研究の目的である。その背景には、切断多面体の正規性予想の肯定的解決から、四色定理が従う(David E. Speyer)ことが潜んでいる。
平成25年度は、切断多面体の正規性予想の肯定的な解決に挑戦したが、平成26年度は、研究の方針を転換し、切断多面体の正規性予想の否定的解決、すなわち、反例を構成する研究に着手した。平成25年度の計算機実験による結果を検討し、従来の研究を踏襲すると、肯定的な解決に向けての努力をすることが妥当なように思えるが、しかしながら、平成25年度の研究から、肯定的であるとの絶対的な状況証拠が得られたとは言い難い。それゆえ、平成26年度は、切断多面体の正規性予想の否定的な解決に向けての研究を展開することを決断した。もっとも、闇雲に、反例を探すことをしても無駄であるから、切断多面体の Hilbert basis を有限グラフの組合せ論を使って記述し、切断多面体の膨らましに含まれる整数点の状況を可能な限り厳密に把握することから、切断多面体の正規性予想が肯定的であると思われる有限グラフの類の幾つかを特定し、その類に含まれない有限グラフの切断多面体から反例を探す方針で研究を推進した。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

本挑戦的萌芽研究はエフォート 10% の研究であるから、十分な時間を費やすことは困難である。しかしながら、切断多面体の正規性予想が肯定的であると思われる有限グラフの類の幾つかを特定することから、切断多面体の正規性予想の反例となる候補を列挙することができたから、研究の展開としては十分であると判断している。

今後の研究の推進方策

切断多面体の正規性予想の肯定的解決と否定的解決の両面から研究を展開する。

次年度使用額が生じた理由

ドイツの共同研究者のスケジュールの変更により、外国出張を翌年に延期した。

次年度使用額の使用計画

外国出張

  • 研究成果

    (7件)

すべて 2014 その他

すべて 雑誌論文 (5件) (うち査読あり 5件、 オープンアクセス 2件) 学会発表 (1件) (うち招待講演 1件) 備考 (1件)

  • [雑誌論文] Many toric ideals generated by quadratic binomials possess no quadratic Groebner bases2014

    • 著者名/発表者名
      T. Hibi, K. Nishiyama, H. Ohsugi and A. Shikama
    • 雑誌名

      J. of Algebra

      巻: 408 ページ: 138; 146

    • DOI

      10.1016/j.jalgebra.2013.09.039

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Toric ideals of finite graphs and adjacent 2-minors2014

    • 著者名/発表者名
      H. Ohsugi and T. Hibi
    • 雑誌名

      Math. Scand.

      巻: 114 ページ: 185; 190

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Centrally symmetric configurations of integer matrices2014

    • 著者名/発表者名
      H. Ohsugi and T. Hibi
    • 雑誌名

      Nagoya Math. J.

      巻: 216 ページ: 153; 170

    • DOI

      10.1215/00277630-2857555

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Integer decomposition property of dilated polytopes2014

    • 著者名/発表者名
      D. A. Cox, C. Haase, T. Hibi and A. Higashitani
    • 雑誌名

      Electron. J. Combin.

      巻: 21 ページ: 4.28; 17 pp.

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Edge rings satisfying Serre's condition (R_1)2014

    • 著者名/発表者名
      T. Hibi and L. Katthaen
    • 雑誌名

      Proc. Amer. Math. Soc.

      巻: 142 ページ: 2537; 2541

    • DOI

      10.1090/S0002-9939-2014-11973-3

    • 査読あり / オープンアクセス
  • [学会発表] Stanley's Influence on Monomial Ideals2014

    • 著者名/発表者名
      T. Hibi
    • 学会等名
      A conference in honor of Richard P. Stanley’s 70th birthday
    • 発表場所
      Massachusetts Institute of Technology
    • 年月日
      2014-06-23 – 2014-06-27
    • 招待講演
  • [備考] 大阪大学大学院情報科学研究科情報基礎数学専攻組合せ数学講座教員紹介

    • URL

      http://www.ist.osaka-u.ac.jp/japanese/introduction/professors/pure-and-applied-mathematics/combinatorics/takayuki-hibi.html

URL: 

公開日: 2016-05-27  

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