| 研究概要 |
一般係数の重さ２の楕円型保型形式の非通常素点におけるp進Gross-Zagier公式を証明した。そのために必要な非通常素点のp進高さ関数のノルム構成を, 楕円曲線の場合からアーベル多様体の場合に一般化した。この結果をまとめて論文にした。
重さが一般の楕円型保型形式の非通常素点におけるp進Gross-Zagier公式の研究を始めた. 高次の重さをもつときは, Heegner cycleと呼ばれる高次元cycleの$p$-進高さと保型形式の$p$-進$L$-関数の微分値を結びつける公式となる. 扱う多様体がKuga-Sato多様体になり, modular曲線の場合と比較して道具立ても大きくなる. この公式は解析的階数が１のときの , 保型形式に関するBirch and Swinnerton-Dyer型予想に著しい応用が期待できる. 重さ2の場合の証明を一般化するにあたり, Heegner cycleの$p$-進Abel-Jacobi写像による像のp進積分を使った計算が大事になる. これは通常素点の場合には必要がなかった計算である. 非通常素点においてはより深いp進現象を解明する必要があり, この計算自体が数学的に興味深いものと思われる. 今年度はこの計算をもとにしてHeegner cycleのシステムをp進補間する関数を構成することができた。これはp進Gross-Zagier公式の証明の最も大事なステップの一つである。
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