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2016 年度 実績報告書

代数群の表現と付随するゼータ関数の整数論的研究

研究課題

研究課題/領域番号 25707002
研究機関神戸大学

研究代表者

谷口 隆  神戸大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (60422391)

研究期間 (年度) 2013-04-01 – 2018-03-31
キーワード代数群の表現 / ゼータ関数 / 密度定理 / 数の幾何
研究実績の概要

代数群の有限次元表現(G,V)から、整数論的に興味深い密度定理を導くことができる。特に(G,V)が概均質ベクトル空間の場合は、佐藤-新谷のゼータ関数を用いることで、数の幾何よりも精密な成果が得られることがある。今年度はこのゼータ関数を自然勝非常に効果的に用いる方法を見出した。具体的な成果として、3次体の判別式の分布において、誤差項の指数を 2/3+epsilon まで下げることができた。分解に条件をつけたときの p-依存性も効果的な評価が得られたために、今後多数の応用が見込まれる。この方法は汎用性があり、例えば2次体のイデアル類群の3捻点の平均個数についても、既存の成果を上回る成果が得られる。また、他の概均質ベクトル空間(G,V)についても、必要な指数和が計算できれば、この方法を適用して、精密な成果を得ることができる。この意味で問題をほぼ完全に、指数和の評価に帰着することができた。これは Manjul Bhargava 氏、Frank Thorne 氏 との共同研究である。

また、代数群の表現を研究する中で半ば偶発的に、代数体のイデアル類群の2捻点の個数の非自明な評価を与える方法を発見した。証明は数の幾何を用いる。これにより、楕円曲線の整数点や2-Selmer群の位数の評価を改良することができた。また、超楕円曲線の2-Selmer群の位数の評価も改良できた。これは Manjul Bhargava 氏、Arul Shankar 氏、Frank Thorne 氏、Jacob Tsimerman 氏、Yongqian Zhao 氏との共同研究である。

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

意欲的な研究課題で、そのすべてを達成できたわけではないが、概均質ベクトル空間のゼータ関数については、それに内在する力を十分に引き出すことができたと思われる。また、代数体のイデアル類群の2捻点の個数の非自明な評価については、全く予期しなかった大きな成果だと考えられる。

今後の研究の推進方策

2次体のイデアル類群の3捻点の平均個数について、精密な密度定理を証明する。また、連携研究者や国内外の研究協力者を招聘し、本研究課題で得られた成果について総括を行い、また新たな研究の発展に向け、今の課題について討論を行う。

次年度使用額が生じた理由

研究集会を開催し、本研究課題について総括する予定であったが、主要な連携研究者・国内外の研究協力者の予定を勘案すると、平成29年度の開催することがより適当であると判明したため。

次年度使用額の使用計画

研究集会の発表者招聘に用いる。

  • 研究成果

    (6件)

すべて 2016 その他

すべて 国際共同研究 (2件) 学会発表 (3件) (うち国際学会 2件、 招待講演 3件) 備考 (1件)

  • [国際共同研究] Princeton University/University of South Carolina(米国)

    • 国名
      米国
    • 外国機関名
      Princeton University/University of South Carolina
  • [国際共同研究] University of Toronto(カナダ)

    • 国名
      カナダ
    • 外国機関名
      University of Toronto
  • [学会発表] 概均質ベクトル空間の軌道指数和2016

    • 著者名/発表者名
      谷口隆
    • 学会等名
      代数的整数論とその周辺2016
    • 発表場所
      RIMS
    • 年月日
      2016-11-28 – 2016-11-28
    • 招待講演
  • [学会発表] Orbital exponential sums for prehomogeneous vector spaces2016

    • 著者名/発表者名
      Takashi Taniguchi
    • 学会等名
      Whittaker Functions: Number Theory, Geometry and Physics
    • 発表場所
      BIRS
    • 年月日
      2016-07-25 – 2016-07-25
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] Exponential sums associated to prehomogeneous vector spaces2016

    • 著者名/発表者名
      Takashi Taniguchi
    • 学会等名
      2016 Seoul-Tokyo conference on Number Theory
    • 発表場所
      KIAS
    • 年月日
      2016-06-17 – 2016-06-17
    • 国際学会 / 招待講演
  • [備考] http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/tani/index.html

URL: 

公開日: 2018-01-16  

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